發展曆程
坐标的思想是法國數學家、哲學家笛卡爾所創立的。笛卡爾是著名的法國哲學家、數學家、物理學家,近代生物學的奠基人。他對當時幾乎各門學科都有貢獻。
傳說:
有一天,笛卡爾(Descartes 1596—1650,法國哲學家、數學家、物理學家)生病卧床,但他頭腦一直沒有休息,在反複思考一個問題:幾何圖形是直觀的,而代數方程則比較抽象,能不能用幾何圖形來表示方程呢?這裡,關鍵是如何把組成幾何的圖形的點和滿足方程的每一組“數”挂上鈎。他就拼命琢磨。通過什麼樣的辦法、才能把“點”和“數”聯系起來。突然,他看見屋頂角上的一隻蜘蛛,拉着絲垂了下來,一會兒,蜘蛛又順着絲爬上去,在上邊左右拉絲。蜘蛛的“表演”,使笛卡爾思路豁然開朗。他想,可以把蜘蛛看做一個點,它在屋子裡可以上、下、左、右運動,能不能把蜘蛛的每個位置用一組數确定下來呢?他又想,屋子裡相鄰的兩面牆與地面交出了三條直線,如果把地面上的牆角作為起點,把交出來的三條線作為三根數軸,那麼空間中任意一點的位置,不是都可以用這三根數軸上找到的有順序的三個數來表示嗎?反過來,任意給一組三個有順序的數,例如3、2、1,也可以用空間中的一個點 P來表示它們。同樣,用一組數(a, b)可以表示平面上的一個點,平面上的一個點也可以用一組二個有順序的數來表示。于是在蜘蛛的啟示下,笛卡爾創建了直角坐标系。
坐标系
在平面“二維”内畫兩條互相垂直,并且有公共原點的數軸,簡稱直角坐标系。平面直角坐标系有兩個坐标軸,其中橫軸為x軸(x-axis),取向右方向為正方向;縱軸為y軸(y-axis),取向上為正方向。坐标系所在平面叫做坐标平面,兩坐标軸的公共原點叫做平面直角坐标系的原點。x軸y軸将坐标平面分成了四個象限(quadrant),右上方的部分叫做第一象限,其他三個部分按逆時針方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。象限以數軸為界,橫軸、縱軸上的點及原點不在任何一個象限内。一般情況下,x軸y軸取相同的單位長度,但在特殊的情況下,也可以取不同的單位長度。
點的坐标
在直角坐标系中,對于平面上的任意一點,都有唯一的一個有序數對(即點的坐标(coordinates))與它對應;反過來,對于任意一個有序數對,都有平面上唯一的一點與它對應。
對于平面内任意一點C,過點C分别向x軸、y軸作垂線,垂足在x軸、y軸上的對應點a,b分别叫做點C的橫坐标、縱坐标,有序數對(ordered pair)(a,b)叫做點C的坐标。一個點在不同的象限或坐标軸上,點的坐标不一樣。
特殊位置的點的坐标的特點:
1.x軸上的點的縱坐标為零;y軸上的點的橫坐标為零。
2.在任意的兩點中,如果兩點的橫坐标相同,則兩點的連線平行于縱軸(兩點的橫坐标不為零);如果兩點的縱坐标相同,則兩點的連線平行于橫軸(兩點的縱坐标不為零)。
3.點到軸及原點的距離:
點到x軸的距離為|y|; 點到y軸的距離為|x|;點到原點的距離為x的平方加y的平方的算術平方根。
象限
第一象限還可以寫成Ⅰ,第二象限還可以寫成Ⅱ,第三象限還可以寫成Ⅲ,第四象限也可以寫成Ⅳ。
.第一、三象限角平分線上的點橫、縱坐标相等;第二、四象限角平分線上的點橫、縱坐标互為相反數。
對稱點
1.關于x軸成軸對稱的點的坐标,橫坐标相同,縱坐标互為相反數。(橫同縱反)
2.關于y軸成軸對稱的點的坐标,縱坐标相同,橫坐标互為相反數。(橫反縱同)
3.關于原點成中心對稱的點的坐标,橫坐标與橫坐标互為相反數,縱坐标與縱坐标互為相反數。(橫縱皆反)
點的符号
橫坐标 縱坐标
第一象限:(+,+)正正
第二象限:(-,+)負正
第三象限:(-,-)負負
第四象限:(+,-)正負
x軸正半軸:(+,0)
x軸負半軸:(-,0)
y軸正半軸:(0,+)
y軸負半軸: (0,-)
x軸上的點的縱坐标為0,y軸上的點的橫坐标為0。
原點:(0,0)
注:以數對形式(x,y)表示的坐标系中的點。如(2,-4),“2”是x軸坐标,“-4”是y軸坐标。
1.第一象限中的點的橫坐标(x)大于0,縱坐标(y)大于0。
2.第二象限中的點的橫坐标(x)小于0,縱坐标(y)大于0。
3.第三象限中的點的橫坐标(x)小于0,縱坐标(y)小于0。
4.第四象限中的點的橫坐标(x)大于0,縱坐标(y)小于0。
各象限角平分線的點的特征:
一、三象限角平分線上的點p (a,b)橫縱坐标相等,即a=b;
二、四象限角平分線上的點p (a,b)橫縱坐标相反,即a+b=0或a=-b。
性質
1.坐标平面内的點與有序實數對一一對應。
2. 一三象限角平分線上的點橫縱坐标相等。
3.二四象限角平分線上的點橫縱坐标互為相反數。
4.一點上下平移,橫坐标不變,即平行于y軸的直線上的點橫坐标相同。
5.y軸上的點,橫坐标都為0。
6.x軸上的點,縱坐标都為0。
7.坐标軸上的點不屬于任何象限。
8.一個關于x軸對稱的點橫坐标不變,縱坐标變為原坐标的相反數。反之同樣成立。
9.一個關于原點對稱的點橫縱坐标均為原坐标相反數。
10.與x軸做軸對稱變換時,x不變,y變為相反數。
11.與y軸做軸對稱變換時,y不變,x變為相反數。
12.與原點做軸對稱變換時,y與x都變為相反數。
高斯平面直角坐标系
為了方便工程的規劃、設計與施工,我們需要把測區投影到平面上來,使測量計算和繪圖更加方便。而地理坐标是球面坐标,當測區範圍較大時,要建平面坐标系就不能忽略地球曲率的影響。把地球上的點位化算到平面上,稱為地圖投影。地圖投影的方法有很多,我國采用的是高斯——克呂格投影(又稱高斯正形投影),簡稱高斯投影。它是由德國數學家高斯提出的,由克呂格改進的一種分帶投影方法。它成功解決了将橢球面轉換為平面的問題。
投影方法
高斯投影的方法是将地球按經線劃分為帶,稱為投影帶。投影是從首子午線開始的,分6°帶和3°兩種。每隔6°劃分一帶的叫6°帶,每隔3°劃分一帶的叫3°帶。我國領土位于東經72°∽136°之間,共包括了11個6°帶,即13∽23帶;22個3°投影帶即24∽45帶。
設想一個平面卷成橫圓柱套在地球外,如圖1-5中(a)所示 。通過高斯投影,将中央子午線的投影作為縱坐标軸,用x表示,将赤道的投影作橫坐标軸,用y表示,兩軸的交點作為坐标原點,由此構成的平面直角坐标系稱為高斯平面直角坐标系,如圖1-5中(b)所示。每一個投影帶都有一個獨立的高斯平面直角坐标系,區分各帶坐标系則利用相應投影帶的帶号。在每一個投影帶内,y坐标值都有正有負,這對于計算和使用都不方便,為了使y坐标都為正值,故将縱坐标軸向西平移500㎞,并在y坐标前加上投影帶的帶号。 6°帶投影是從英國格林尼治子午線開始,自西向東,每隔經差6°分為一帶,将地球分為60個帶,其編号分别為1,2,3,…60。任意帶的中央子午線經度為Lo,它與投影帶号N的關系如下所示:
式中:N———6°帶的帶号
離中央子午線越遠,長度變形越大,在要求較小的投影變形時,可采用3°投影帶。3°帶是在6°帶的基礎上劃分的,如圖2所示。
每3°為一帶,從東經1°30′開始,共120帶,其中央子午線在奇數帶時與6°帶的中央子午線重合,每帶的中央子午線可用下面的工式計算:
Lo=3N′
式中:N′——3°帶的帶号。
為了避免y坐标出現負值,3°帶的坐标原點同6°帶一樣,向西移動500㎞,并在y坐标前加3°帶的帶号。
特點
應當注意的是,高斯投影沒有角度變形,但有長度變形和面積變形,離中央子午線越遠,變形就越大。其主要特點有以下三點:
(1)投影後中央子午線為直線,長度不變形,其餘經線投影對稱并且凹向于中央子午線,離中央子午線越遠,變形越大。
(2)赤道的投影也為一直線,并與中央子午線正交,其餘的經緯投影為凸向赤道的對稱曲線。
(3)經緯投影後仍然保持相互垂直的關系,投影後有角度無變形。
應用
用直角坐标原理在投影面上确定地面點平面位置的坐标系:
與數學上的直角坐标系不同的是,它的橫軸為Y軸,縱軸為X軸。在投影面上,由投影帶中央經線的投影為調軸、赤道投影為橫軸(Y軸)以及它們的交點為原點的直角坐标系稱為國家坐标系,國家坐标系(national coordinate system)是各國為進行測繪和處理其成果,規定在全國範圍内使用統一坐标框架的坐标系統,又稱國家大地坐标系。國家大地坐标系是測制國家基本比例尺地圖的基礎。否則稱為獨立坐标系。
坐标方法的簡單應用:
1.用坐标表示地理位置。
2.用坐标表示平移。
在測量學中使用的平面直角坐标系統(rectangular plane coordinate system)包括高斯平面直角坐标系和獨立平面直角坐标系。
通常選擇:高斯投影平面(在高斯投影時)或測區内平均水準面的切平面(在獨立地區測量時)作為坐标平面;縱坐标軸為x軸,向上(向北)為正;橫坐标軸為y軸,向右(向東)為正;角度(方位角)從x軸正向開始按順時針方向量取,象限也按順時針方向編号。