人物簡介
笛卡爾，又一個衆“家”纏身的法國名人：著名哲學家、物理學家、數學家、生理學家……在西方的思想體系裡，很少人能跟笛卡爾擁有同樣的影響力。他的《方法論》起着革命性的作用，時至今日仍作為現代哲學的支柱之一。
人物生平
童年
1596年3月31日，笛卡爾出生在法國安德爾-盧瓦爾省的圖賴讷拉海（現為笛卡爾）。他出身于地位較低的貴族家庭，父親Joachim是雷恩的布列塔尼議會的議員，同時也是地方法院的法官。
1歲多時母親患肺結核去世，而他也受到傳染，造成體弱多病
。笛卡爾因從小多病，但是家境富裕從而使學校允許他在床上早讀。母親去世後，父親移居他鄉并再婚，而把笛卡爾留給了他的外祖母帶大，自此父子很少見面，但是父親一直提供金錢方面的幫助，使他能夠受到良好的教育，追求自己的興趣而不用擔心經濟來源問題。也因此養成終生沉思的習慣和孤僻的性格。父親見他頗有哲學家的氣質，親昵地稱他為“小哲學家”。
1606或1607年，父親希望笛卡爾将來能夠成為一名神學家，于是在笛卡爾八歲時将其送入歐洲最有名的貴族學校──位于拉弗萊什的耶稣會的皇家大亨利學院學習
。校方為照顧他孱弱的身體，特許他不必受校規的約束，早晨不必到學校上課，可以在床上讀書 。因此，他從小養成了喜歡安靜，善于思考的習慣。他在該校學習8年，接受了傳統的文化教育，學習了古典文學、曆史、神學、哲學、法學、醫學、數學及其他自然科學。他學習到了數學和物理學，包括伽利略的工作
。但他對所學的東西頗感失望，因為在他看來教科書中那些微妙的論證，其實不過是模棱兩可甚至前後矛盾的理論，隻能使他頓生懷疑而無從得到确鑿的知識，惟一給他安慰的是數學。
這裡有一段關于哲學家笛卡兒論星星的趣話。有一次笛卡兒坐在自己屋前的台階上，正在凝視着落日後昏暗的地平線。一個過路人走近他的身旁，問道：“喂！聰明人，請問，天上有多少顆星星？”他回答道：“蠢人！誰也不能擁抱那無邊無際的東西……”
青年
1616年12月畢業後，他遵從他父親希望他成為律師的願望，進入普瓦捷大學學習法律與醫學，對各種知識特别是數學深感興趣，并獲得業士學位和文憑
。畢業後笛卡爾一直對職業選擇不定，又決心遊曆歐洲各地，專心尋求“世界這本大書”中的智慧。
1618年，笛卡爾加入荷蘭拿騷的毛裡茨的軍隊。但是荷蘭和西班牙之間簽訂了停戰協定，于是笛卡爾利用這段空閑時間學習數學
。在軍隊服役和周遊歐洲期間他繼續注意“收集各種知識”，“随處對遇見的種種事物注意思考”。在笛卡爾的時代，拉丁文是學者的語言。他也如當時的習慣，在他的着作上簽上他的拉丁化的名字——Renatus Cartesius（瑞那圖斯·卡提修斯）。正因為如此，由他首創的笛卡爾坐标系也稱卡提修坐标系。
笛卡爾對結合數學與物理學的興趣，是在荷蘭當兵期間産生的。
1618年11月10日，他偶然在路旁公告欄上，看到用佛萊芒語提出的數學問題征答。這引起了他的興趣，并且讓身旁的人，将他不懂的佛萊芒語翻譯成拉丁語。這位身旁的人就是大他八歲的以撒·貝克曼（Isaac Beeckman）。貝克曼在數學和物理學方面有很高造詣，很快成為了他的導師
。4個月後，他寫信給貝克曼：“你是将我從冷漠中喚醒的人……”，并且告訴他，自己在數學上有了4個重大發現。
據說，笛卡爾曾在一個晚上做了三個奇特的夢。第一個夢是，笛卡爾被風暴吹到一個風力吹不到的地方；第二個夢是他得到了打開自然寶庫的鑰匙；第三個夢是他開辟了通向真正知識的道路。這三個奇特的夢增強了他創立新學說的信心。這一天是笛卡兒思想上的一個轉折點，也有些學者把這一天定為解析幾何的誕生日。
1621年笛卡爾退伍回國，時值法國内亂，于是在1622年，時年26歲的笛卡爾變賣掉父親留下的資産，用4年時間遊曆歐洲，其中在意大利住了2年，随後于1625年遷住于巴黎。因為在當時的法國教會勢力龐大，不能自由讨論宗教問題。
1628年笛卡爾移居荷蘭，在那裡住了20多年。在此期間，笛卡爾對哲學、數學、天文學、物理學、化學和生理學等領域進行了深入的研究且緻力于哲學研究發表了多部重要的文集，并通過數學家梅森神父與歐洲主要學者保持密切聯系。
他的主要着作幾乎都是在荷蘭完成的。
1628年，寫出《指導哲理之原則》。
1634年完成了以尼古拉·哥白尼學說為基礎的《論世界》。書中總結了他在哲學、數學和許多自然科學問題上的一些看法。
1637年，用法文寫成三篇論文《屈光學》、《氣象學》和《幾何學》，并為此寫了一篇序言《科學中正确運用理性和追求真理的方法論》，哲學史上簡稱為《方法論》（Discours de la méthode）（1637）。6月8日在萊頓匿名出版。
《哲學原理》（les Principes de la philosophie）（1644）
《形而上學的沉思》（Méditations métaphysiques）（1641）等就此笛卡爾成為歐洲最有影響力的哲學家之一。
離世
1650年2月去世，享年54歲。終生未婚。由于教會的阻止，僅有幾個友人為其送葬。死後還出版有《論光》（1664）等。
1663年他的着作在羅馬和巴黎被列入梵蒂岡教皇頒布的禁書目錄之中。
但是，他的思想的傳播并未因此而受阻，笛卡爾成為17世紀及其以後對歐洲哲學界和科學家最有影響的巨匠之一。1740年，巴黎才解除了禁令，那是為了對當時在法國流行起來的牛頓世界體系提供一個替代的東西。
1789年法國大革命後，笛卡爾的骨灰和遺物被送進法國曆史博物館。
1819年，其骨灰被移入聖日耳曼聖心堂中。
他的哲學與數學思想對曆史的影響是深遠的。人們在他的墓碑上刻下了這樣一句話：“笛卡爾，歐洲文藝複興以來，第一個為人類争取并保證理性權利的人。”
個人生活
笛卡爾的婚姻：與斯賓諾莎、牛頓、萊布尼茨一樣，笛卡爾終身未婚，沒有享受到家庭生活所帶來的快樂。他有一私生女，但不幸夭折，為其終生憾事。
宗教信仰
笛卡爾的宗教信仰在學術圈中一直被嚴格地争論着。他聲稱是虔誠的羅馬天主教徒，以及“沉思”的目的是為了維護基督教信仰。但是在他自己的時代，笛卡爾被指控宣揚秘密的自然神論和無神論信仰。與他同時代的布萊茲·帕斯卡說，“我不能原諒笛卡爾；他在其全部的哲學之中都想能撇開上帝。然而他又不能不要上帝來輕輕碰一下，以便使世界運動起來；除此之外，他就再也用不着上帝了。”
斯蒂芬·高克羅格的笛卡爾傳記中寫到，“他作為一個天主教徒有着很深的宗教信仰，并一直保持到他死的那一天，并帶着堅定的，熱情的探索真理的渴望。”
在笛卡爾死于瑞典後，克裡斯蒂娜女王放棄了她的王位轉信羅馬天主教（瑞典法律要求統治者是新教教徒）。她一直聯系的僅有的天主教徒就是笛卡爾，他曾是她的個人家庭教師。
笛卡爾的主要數學成果集中在他的“幾何學”中。當時，代數還是一門新興科學，幾何學的思維還在數學家的頭腦中占有統治地位。在笛卡爾之前，幾何與代數是數學中兩個不同的研究領域。笛卡爾站在方法論的自然哲學的高度，認為希臘人的幾何學過于依賴于圖形，束縛了人的想象力。對于當時流行的代數學，他覺得它完全從屬于法則和公式，不能成為一門改進智力的科學。因此他提出必須把幾何與代數的優點結合起來，建立一種“真正的數學”。笛卡爾的思想核心是：把幾何學的問題歸結成代數形式的問題，用代數學的方法進行計算、證明，從而達到最終解決幾何問題的目的。依照這種思想他創立了“解析幾何學”。 1637年，笛卡爾發表了《幾何學》，創立了平面直角坐标系。他用平面上的一點到兩條固定直線的距離來确定點的位置，用坐标來描述空間上的點。他進而又創立了解析幾何學，解析幾何的出現，改變了自古希臘以來代數和幾何分離的趨向，把相互對立着的“數” 與“形”統一了起來，使幾何曲線與代數方程相結合。笛卡爾的這一天才創見，更為微積分的創立奠定了基礎，從而開拓了變量數學的廣闊領域。最為可貴的是，笛卡爾用運動的觀點，把曲線看成點的運動的軌迹，不僅建立了點與實數的對應關系，而且把形（包括點、線、面）和“數”兩個對立的對象統一起來，建立了曲線和方程的對應關系。這種對應關系的建立，不僅标志着函數概念的萌芽，而且标明變數進入了數學，使數學在思想方法上發生了偉大的轉折--由常量數學進入變量數學的時期。辨證法進入了數學，有了變數，微分和積分也就立刻成為必要了。笛卡爾的這些成就，為後來牛頓、萊布尼茲發現微積分，為一大批數學家的新發現開辟了道路。
主要成就
笛卡爾在科學上的貢獻是多方面的。笛卡爾不僅在哲學領
域裡開辟了一條新的道路，同時笛卡爾又是一勇于探索的科學家，在物理學、生理學等領域都有值得稱道的創見，特别是在數學上他創立了解析幾何，從而打開了近代數學的大門，在科學史上具有劃時代的意義。
但他的哲學思想和方法論，在其一生活動中則占有更重要的地位。他的哲學思想對後來的哲學和科學的發展，産生了極大的影響。
哲學方面
笛卡爾被廣泛認為是西方現代哲學的奠基人，他第一個創立了一套完整的哲學體系。哲學上，笛卡爾是一個二元論者以及理性主義者。笛卡爾認為，人類應該可以使用數學的方法——也就是理性——來進行哲學思考。他相信，理性比感官的感受更可靠。（他舉出了一個例子：在我們做夢時，我們以為自己身在一個真實的世界中，然而其實這隻是一種幻覺而已，參見莊周夢蝶）。他從邏輯學、幾何學和代數學中發現了4條規則：
絕不承認任何事物為真，對于我完全不懷疑的事物才視為真理；
必須将每個問題分成若幹個簡單的部分來處理；
思想必須從簡單到複雜；
我們應該時常進行徹底的檢查，确保沒有遺漏任何東西。
笛卡爾将這種方法不僅運用在哲學思考上，還運用于幾何學，并創立了解析幾何。
由此，笛卡爾第一步認為懷疑就是出發點，感官知覺的知識是可以被懷疑的，我們并不能信任我們的感官。笛卡爾強調科學的目的在于造福人類，使人成為自然界的主人和統治者。他反對經院哲學和神學，提出懷疑一切的“系統懷疑的方法”。所以他不會說“我看故我在”、“我聽故我在”。從這裡他悟出一個道理：我們所不能懷疑的是“我們的懷疑”。意指:我們無法去懷疑的，是我們正在“懷疑”這件事時的“懷疑本身”，隻有這樣才能肯定我們的“懷疑”是有真實性的，并非虛假的産物。人們覺得理所當然或習以為常的事物，他卻感到疑惑，由此他推出了著名的哲學命題——“我思故我在”（Cogito ergo sum）。強調不能懷疑以思維為其屬性的獨立的精神實體的存在，并論證以廣延為其屬性的獨立物質實體的存在。
他認為上述兩實體都是有限實體，把它們并列起來，這說明了在形而上學或本體論上，他是典型的二元論者。笛卡爾将此作為形而上學中最基本的出發點，從這裡他得出結論，“我”必定是一個獨立于肉體的、在思維的東西。笛卡爾還試圖從該出發點證明出上帝的存在。笛卡爾認為，我們都具有對完美實體的概念，由于我們不可能從不完美的實體上得到完美的概念，因此必定有一個完美實體——即上帝——的存在來讓我們得到這個概念。即上帝是有限實體的創造者和終極的原因。從所得到的兩點出發，笛卡爾繼續推論出既然完美的事物（神）存在，那麼我們可以确定之前的惡魔假設是不能成立的，因為一個完美的事物不可能容許這樣的惡魔欺騙人們，因此借由不斷的懷疑我們可以确信“這個世界真的存在”，而且經由證明過後的數學邏輯都應該是正确的。現實世界中有諸多可以用理性來察覺的特性，即它們的數學特性（如長、寬、高等），當我們的理智能夠清楚地認知一件事物時，那麼該事物一定不會是虛幻的，必定是如同我們所認知的那樣。即笛卡爾将幾何學的推理方法和演繹法應用于哲學上，認為清晰明白的概念就是真理，提出“天賦觀念”。
笛卡爾的自然哲學觀同亞裡士多德的學說是完全對立的。他認為，所有物質的東西，都是為同一機械規律所支配的機器，甚至人體也是如此。同時他又認為，除了機械的世界外，還有一個精神世界存在，這種二元論的觀點後來成了歐洲人的根本思想方法。
雖然笛卡爾證明了真實世界的存在，他認為宇宙中共有2個不同的實體，既思考（心靈）和外在世界（物質），兩者本體都來自于上帝，而上帝是獨立存在的。他認為，隻有人才有靈魂，人是一種二元的存在物，既會思考，也會占空間。而動物隻屬于物質世界。
笛卡爾強調思想是不可懷疑的這個出發點，對此後的歐洲哲學産生了重要的影響。我思故我在所産生的争議在于所謂的上帝存在及動物一元論（黑猩猩、章魚、鹦鹉、海豚、大象等等都證實有智力），而懷疑的主要思想，确實對研究方面很有貢獻。
方法論
笛卡爾本想在一本題為《世界》的書中介紹他的科研成果，但是當該書在1633年快要完稿時，他獲悉意大利教會的權威伽利略有罪，因為他擁護哥白尼的日心說。雖然笛卡兒在荷蘭未受到天主教權威的迫害，但是他還是決定謹慎從事，收書稿進箧入匣，因為在書中他捍衛了哥白尼的學說。但是在1637年他發表了最有名的着作《正确思維和發現科學真理的方法論》，通常簡稱為《方法論》。
笛卡兒在《方法論》中指出，研究問題的方法分四個步驟：
1. 永遠不接受任何我自己不清楚的真理，就是說要盡量避免魯莽和偏見，隻能是根據自己的判斷非常清楚和确定，沒有任何值得懷疑的地方的真理。就是說隻要沒有經過自己切身體會的問題，不管有什麼權威的結論，都可以懷疑。這就是著名的“懷疑一切”理論。例如亞裡士多德曾下結論說，女人比男人少兩顆牙齒。但事實并非如此。
2. 可以将要研究的複雜問題，盡量分解為多個比較簡單的小問題，一個一個地分開解決。
3. 将這些小問題從簡單到複雜排列，先從容易解決的問題着手。
4. 将所有問題解決後，再綜合起來檢驗，看是否完全，是否将問題徹底解決了。
在1960年代以前，西方科學研究的方法，從機械到人體解剖的研究，基本是按照笛卡兒的《談談方法》進行的，對西方近代科學的飛速發展，起了相當大的促進作用。但也有其一定的缺陷，如人體功能，隻是各部位機械的綜合，而對其互相之間的作用則研究不透。直到阿波羅1号登月工程的出現，科學家才發現，有的複雜問題無法分解，必須以複雜的方法來對待，因此導緻系統工程的出現，方法論的方法才第一次被綜合性的方法所取代。系統工程的出現對許多大規模的西方傳統科學起了相當大的促進作用，如環境科學，氣象學，生物學，人工智能等等。
“我思故我在”笛卡爾最著名的思想。出自《方法論》。
字面意思：“當我懷疑一切事物的存在時，我卻不用懷疑我本身的思想，因為此時我唯一可以确定的事就是我自己思想的存在”。笛卡爾認為當“我”在懷疑一切時，卻不能懷疑那個正在懷疑着的“我”的存在。因為這個“懷疑”的本身是一種思想活動。而這個正在思想着、懷疑着的“我”的本質也是一種思想活動。注意這裡的“我”并非指的是身心結合的我，而是指獨立存在的心靈。
深層意思：笛卡兒的哲學命題，采用所謂“懷疑的方法”，是在求證“知識”的來源是否可靠。我們可以懷疑身邊的一切，隻有一件事是我們無法懷疑的，那就是：懷疑那個正在懷疑着的“我”的存在。換句話說，我們不能懷疑“我們的懷疑”，因為隻有這樣才能肯定我們的“懷疑”。笛卡兒也就是從他的 “我思故我在”來證明“上帝的存在”。因為“我”這個思想的主體不能被“懷疑”，那麼就有一個使“我”存在的更高“存在體”。換句話說，因為我存在，所以必須有一個使我存在的“存在者”，而那個使我存在的“存在者”，也必定是使萬物存在的“存在者”。因此，能夠使萬物存在的“存在者”，就必然隻有上帝才有可能了。
這句被笛卡兒當作自己的哲學體系的出發點的名言，在17世紀前的東歐和21世紀的中國學界都被認為是極端主觀唯心主義的總代表，而遭到嚴厲的批判。很多人甚至以“存在必先于意識”、“沒有肉體便不能有思想”等為論據，認為笛卡兒是“本末倒置”、“荒唐可笑”。笛卡爾的懷疑不是對某些具體事物、具體原理的懷疑，而是對人類、對世界、對上帝的絕對的懷疑。從這個絕對的懷疑，笛卡兒要引導出不容置疑的哲學的原則。
物理學方面
笛卡爾靠着天才的直覺和嚴密的數學推理，在物理學方面做出了有益的貢獻。
從1619年讀了約翰尼斯·開普勒的光學着作後，笛卡兒就一直關注着透鏡理論；并從理論和實踐兩方面參與了對光的本質、反射與折射率以及磨制透鏡的研究。他把光的理論視為整個知識體系中最重要的部分。笛卡爾堅信光是“即時”傳播的，他在着作《論人》和《哲學原理》中，完整的闡發了關于光的本性的概念。笛卡爾運用他的坐标幾何學從事光學研究,并在《屈光學》中首次對光的折射定律提出了理論論證。與荷蘭的斯涅耳共同分享發現光的折射定律的榮譽。他認為光是壓力在以太中的傳播，他從光的發射論的觀點出發，用網球打在布面上的模型來計算光在兩種媒質分界面上的反射、折射和全反射，從而首次在假定平行于界面的速度分量不變的條件下導出折射定律；不過他的假定條件是錯誤的，他的推證得出了光由光疏媒質進入光密媒質時速度增大的錯誤結論。他還對人眼進行光學分析，解釋了視力失常的原因是晶狀體變形，設計了矯正視力的透鏡。
他還用光的折射定律解釋彩虹現象，并且通過元素微粒的旋轉速度來分析顔色。
在力學方面，笛卡爾則發展了伽利略運動相對性的理論。例如在《哲學原理》一書中，舉出在航行中的海船上海員懷表的表輪這一類生動的例子，用以說明運動與靜止需要選擇參考系的道理。
笛卡爾在《哲學原理》第二章中以第一和第二自然定律的形式比較完整地第一次表述了慣性定律：隻要物體開始運動，就将繼續以同一速度并沿着同一直線方向運動，直到遇到某種外來原因造成的阻礙或偏離為止。這裡他強調了伽利略沒有明确表述的慣性運動的直線性。
在這一章中，他還第一次明确地提出了動量守恒定律：物質和運動的總量永遠保持不變。為能量守恒定律奠定了基礎。
笛卡爾發現了動量守恒原理的原始形式(笛卡爾所定義的動量是一絕對值，不是向量，因此他的動量守恒原理後來也被證明是錯誤的)。
笛卡兒對碰撞和離心力等問題曾作過初步研究，給後來克裡斯蒂安·惠更斯的成功創造了條件。
天文學方面
笛卡爾把他的機械論觀點應用到天體，發展了宇宙演化論，形成了他關于宇宙發生與構造的學說。他認為，從發展的觀點來看而不隻是從已有的形态來觀察，對事物更易于理解。他創立了漩渦說。他認為太陽的周圍有巨大的漩渦，恒星。
他認為天體的運動來源于慣性和某種宇宙物質旋渦對天體的壓力，在各種大小不同的旋渦的中心必有某一天體，以這種假說來解釋天體間的相互作用。笛卡兒的太陽起源的以太旋渦模型第一次依靠力學而不是神學，解釋了天體、太陽、行星、衛星、彗星等的形成過程，比康德的星雲說早一個世紀，是17世紀中最有權威的宇宙論。
笛卡爾的天體演化說、旋渦模型和近距作用觀點，正如他的整個思想體系一樣，一方面以豐富的物理思想和嚴密的科學方法為特色，起着反對經院哲學、啟發科學思維、推動當時自然科學前進的作用，對許多自然科學家的思想産生深遠的影響；而另一方面又經常停留在直觀和定性階段，不是從定量的實驗事實出發，因而一些具體結論往往有很多缺陷，成為後來牛頓物理學的主要對立面，導緻了廣泛的争論。
他認為太陽的周圍有巨大的漩渦，帶動着行星不斷運轉。物質的質點處于統一的漩渦之中，在運動中分化出土、空氣和火三種元素，土形成行星，火則形成太陽和恒星。笛卡兒的這一太陽起源的旋渦說，
他還發展了宇宙演化論、漩渦說等理論學說，雖然具體理論有許多缺陷，但依然對以後的自然科學家産生了影響。
數學方面
笛卡爾對數學最重要的貢獻是創立了解析幾何。在笛卡兒時代，代數還是一個比較新的學科，幾何學的思維還在數學家的頭腦中占有統治地位。笛卡兒緻力于代數和幾何聯系起來的研究，并成功地将當時完全分開的代數和幾何學聯系到了一起。于1637年，在創立了坐标系後，成功地創立了解析幾何學。他的這一成就為微積分的創立奠定了基礎，而微積分又是現代數學的重要基石。解析幾何直到現在仍是重要的數學方法之一。
笛卡爾不僅提出了解析幾何學的主要思想方法，還指明了其發展方向。在他的着作《幾何》中，笛卡爾将邏輯，幾何，代數方法結合起來，通過讨論作圖問題，勾勒出解析幾何的新方法，從此，數和形就走到了一起，數軸是數和形的第一次接觸。并向世人證明，幾何問題可以歸結成代數問題，也可以通過代數轉換來發現、證明幾何性質。笛卡爾引入了坐标系以及線段的運算概念。他創新地将幾何圖形‘轉譯’代數方程式，從而将幾何問題以代數方法求解，這就是今日的“解析幾何”或稱“座标幾何”。
解析幾何的創立是數學史上一次劃時代的轉折。而平面直角坐标系的建立正是解析幾何得以創立的基礎。直角坐标系的創建，在代數和幾何上架起了一座橋梁，它使幾何概念可以用代數形式來表示，幾何圖形也可以用代數形式來表示，于是代數和幾何就這樣合為一家人了。
此外，現在使用的許多數學符号都是笛卡爾最先使用的，這包括了已知數a, b, c以及未知數x, y, z等，還有指數的表示方法。他還發現了凸多面體邊、頂點、面之間的關系，後人稱為歐拉-笛卡爾公式。還有微積分中常見的笛卡爾葉形線也是他發現的。
笛卡爾坐标系
在數學裡，笛卡兒坐标系（Cartesian坐标系），也稱直角坐标系，是一種正交坐标系。二維的直角坐标系是由兩條相互垂直、0 點重合的數軸構成的。在平面内，任何一點的坐标 是根據數軸上 對應的點的坐标設定的。在平面内，任何一點與坐标的對應關系，類似于數軸上點與坐标的對應關系。
采用直角坐标，幾何形狀可以用代數公式明确的表達出來。幾何形狀的每一個點的直角坐标必須遵守這代數公式。
笛卡爾坐标系是由法國數學家勒内·笛卡爾創建的。1637年，笛卡爾發表了巨作《方法論》。這本專門研究與讨論西方治學方法的書，提供了許多正确的見解與良好的建議，對于後來的西方學術發展，有很大的貢獻。
為了顯示新方法的優點與果效，以及對他個人在科學研究方面的幫助，在《方法論》的附錄中，他增添了另外一本書《幾何》。有關笛卡兒坐标系的研究，就是出現于《幾何》這本書内。
解析幾何
文藝複興使歐洲學者繼承了古希臘的幾何學，也接受了東方傳入的代數學。利學技術的發展，使得用數學方
法描述運動成為人們關心的中心問題。笛卡兒分析了幾何學與代數學的優缺點，表示要去“尋求另外一種包含這兩門科學的好處，而沒有它們的缺點的方法”。
在《幾何學》（是《方法論》中的一部分）卷一中，他用平面上的一點到兩條固定直線的距離來确定點的距離，用坐标來描述空間上的點。他進而創立了解析幾何學，表明了幾何問題不僅可以歸結成為代數形式，而且可以通過代數變換來實現發現幾何性質，證明幾何性質。
笛卡爾把幾何問題化成代數問題，提出了幾何問題的統一作圖法。為此，他引入了單位線段，以及線段的加、減、乘、除、開方等概念，從而把線段與數量聯系起來，通過線段之間的關系，“找出兩種方式表達同一個量，這将構成一個方程”，然後根據方程的解所表示的線段間的關系作圖。
在卷二中，笛卡兒用這種新方法解決帕普斯問題時，在平面上以一條直線為基線，為它規定一個起點，又選定與之相交的另一條直線，它們分别相當于x軸、原點、y軸，構成一個斜坐标系。那麼該平面上任一點的位置都可以用（x,y）惟一地确定。帕普斯問題就化成了一個含兩個未知數的二次不定方程。笛卡兒指出，方程的次數與坐标系的選擇無關，因此可以根據方程的次數将曲線分類。
《幾何學》一書提出了解析幾何學的主要思想和方法，标志着解析幾何學的誕生。此後，人類進入變量數學階段。
在卷三中，笛卡爾指出，方程可能有和它的次數一樣多的根，還提出了著名的笛卡爾符号法則：方程正根的最多個數等于其系數變号的次數；其負根的最多個數（他稱為假根）等于符号不變的次數。笛卡爾還改進了韋達創造的符号系統，用a,b,c,… 表示已知量，用x,y,z,…表示未知量。
解析幾何的出現，改變了自古希臘以來代數和幾何分離的趨向，把相互對立着的“數”與“形”統一了起來，使幾何曲線與代數方程相結合。笛卡兒的這一天才創見，更為微積分的創立奠定了基礎，從而開拓了變量數學的廣闊領域。
正如恩格斯所說：“數學中的轉折點是笛卡爾的變數。有了變數，運動進入了數學，有了變數，辯證法進入了數學，有了變數，微分和積分也就立刻成為必要了。”
心理學方面
笛卡爾在心理學上的觀點和重大發現，對後來心理學頗有影響。
他是近代二元論和唯心主義理論著名的代表。他的反射和反射弧的重大發現，為“動物是機器”的論斷提供了重要依據。并提出，反應----刺激的假設。
但是笛卡爾的反射概念是機械性的，他強調人和動物的區别，動物沒有心靈，人是有心靈的，這樣的推斷是二元論的典型表現。另外，心神交感論也是笛卡爾在身心關系上二元論的又一典型表現，他認為，人的肉體是由物質實體構成的，人的心靈是由精神實體構成的。心靈和人體即可以相互影響、互為因果、相互作用。
他認為人的原始情緒有六種：驚奇、愛悅、憎惡、欲望、歡樂和悲哀，其他的情緒都是這六種原始情緒的分支，或者組合。
笛卡爾的二元論心理學思想雖然在理論上是錯誤的，但是在當時社會背景下，是非常具有推動和進步作用的，他利用二元論擺脫了神學對科學的絕對控制，将人們的思想引導至理性思維和具體研究上，所以，他對心理學的貢獻是不可忽視的。
人物轶事
1619年，笛卡兒在多瑙河德國南部的一座小城——諾伊堡的軍營。這是他一生的轉折點，他終日沉迷在深思中，考慮數學和哲學問題。1619年11月10日，白天，笛卡兒生病了，遵照醫生的囑咐，躺在床上休息。突然，笛卡兒眼睛一亮，原來正在天花闆上爬來爬去的一隻蜘蛛引起了他的注意。這隻蜘蛛在常人的眼裡或許是平常得不能再平常了，它正忙着在天花闆靠近牆角的地方結網，它忽而沿着牆面爬上爬下，忽而順着吐出絲的方向在空中緩緩移動。
笛卡兒對這隻蜘蛛感興趣，是因為他這時正思索着用代數方法來解決幾何完體，但遇到了一個困難，便是幾何中的點如何才能用代數中的幾個數表示出來呢？晚上，他心中充滿極大的興奮，帶着愉快而又焦急的心情去入睡，使得他接連做噩夢，頭腦久久不能平靜。淩晨，想着這隻懸在半空中的蜘蛛，沉思中的笛卡兒豁然開朗：能不能用兩面牆的交線及牆與天花闆的交線，來确定它的空間位置呢？他一骨碌從床上爬起來，在紙上畫了三條互相垂直的直線，分别表示兩牆面的交線和牆與天花闆的交線，用一個點表示空間的蜘蛛，當然可以測出這點到三個平面的距離。這樣，蜘蛛在空中的位置就可以準确地标出來了。笛卡兒寫道：“第二天，我開始懂得這驚人發現的基本原理。”這就是指他得到了建立解析幾何的線索。n後來，由這樣兩兩互相垂直的直線所組成的坐标系，就被人們稱之為笛卡兒坐标系。
社會評價
笛卡爾在哲學上是二元論者，并把上帝看作造物主。但笛卡爾在自然科學範圍内卻是一個機械論者，這在當時是有進步意義的。
笛卡爾是歐洲近代哲學的奠基人之一，黑格爾稱他為“現代哲學之父”。他自成體系，熔唯物主義與唯心主義于一爐，在哲學史上産生了深遠的影響。
笛卡爾的方法論對于後來物理學的發展有重要的影響。他在古代演繹方法的基礎上創立了一種以數學為基礎的演繹法：以唯理論為根據，從自明的直觀公理出發，運用數學的邏輯演繹，推出結論。這種方法和培根所提倡的實驗歸納法結合起來,經過惠更斯和牛頓等人的綜合運用，成為物理學特别是理論物理學的重要方法。作為他的普遍方法的一個最成功的例子，是笛卡爾運用代數的方法的來解決幾何問題，确立了坐标幾何學即解析幾何學的基礎。
笛卡爾的方法論中還有兩點值得注意。第一，他善于運用直觀“模型”來說明物理現象。例如利用“網球”模型說明光的折射；用“盲人的手杖”來形象地比喻光信息沿物質作瞬時傳輸；用盛水的玻璃球來模拟并成功地解釋了虹霓現象等。第二，他提倡運用假設和假說的方法，如宇宙結構論中的旋渦說。此外他還提出“普遍懷疑”原則。這一原則在當時的曆史條件下對于反對教會統治、反對崇尚權威、提倡理性、提倡科學起過很大作用 。
笛卡爾堪稱17世紀及其後的歐洲哲學界和科學界最有影響的巨匠之一，被譽為“近代科學的始祖”。
