坐标系簡介
解析幾何系指借助笛卡爾坐标系，由笛卡爾、費馬等數學家創立并發展。它用代數方法研究集合對象之間的關系和性質的一門幾何學分支，亦叫做坐标幾何。
笛卡爾坐标系就是直角坐标系和斜角坐标系的統稱。 相交于原點的兩條數軸，構成了平面仿射坐标系。如兩條數軸上的度量單位相等，則稱此仿射坐标系為笛卡爾坐标系。兩條數軸互相垂直的笛卡爾坐标系，稱為笛卡爾直角坐标系，否則稱為笛卡爾斜角坐标系。需要指出的是，請将數學中的笛卡爾坐标系與電影《異次元殺陣》中的笛卡爾坐标相區分，電影中的定義與數學中定義有出入，請勿混淆。
二維的直角坐标系是由兩條相互垂直、0 點重合的數軸構成的。在平面内，任何一點的坐标是根據數軸上對應的點的坐标設定的。在平面内，任何一點與坐标的對應關系，類似于數軸上點與坐标的對應關系。采用直角坐标，幾何形狀可以用代數公式明确的表達出來。幾何形狀的每一個點的直角坐标必須遵守這代數公式。
二維坐标系
二維的直角坐标系通常由兩個互相垂直的坐标軸設定，通常分别稱為 x-軸和 y-軸；兩個坐标軸的相交點，稱為原點，通常标記為 O ，既有“零”的意思，又是英語“Origin”的首字母。每一個軸都指向一個特定的方向。這兩個不同線的坐标軸，決定了一個平面，稱為 xy-平面，又稱為笛卡爾平面。通常兩個坐标軸隻要互相垂直，其指向何方對于分析問題是沒有影響的，但習慣性地（圖1），x-軸被水平擺放，稱為橫軸，通常指向右方；y-軸被豎直擺放而稱為縱軸，通常指向上方。兩個坐标軸這樣的位置關系，稱為二維的右手坐标系，或右手系。如果把這個右手系畫在一張透明紙片上，則在平面内無論怎樣旋轉它，所得到的都叫做右手系；但如果把紙片翻轉，其背面看到的坐标系則稱為“左手系”。這和照鏡子時左右對掉的性質有關。
為了要知道坐标軸的任何一點，離原點的距離。假設，我們可以刻畫數值于坐标軸。那麼，從原點開始，往坐标軸所指的方向，每隔一個單位長度，就刻畫數值于坐标軸。這數值是 刻畫的次數，也是離原點的正值整數距離；同樣地，背着坐标軸所指的方向，我們也可以刻畫出 離原點的負值整數距離。稱 x-軸刻畫的數值為 x-坐标，又稱橫坐标，稱 y-軸刻畫的數值為 y-坐标，又稱縱坐标。雖然，在這裡，這兩個坐标都是整數，對應于坐标軸特定的點。按照比例，我們可以推廣至實數坐标 和其所對應的坐标軸的每一個點。這兩個坐标就是直角坐标系的直角坐标，标記為(x，y)。
任何一個點 P 在平面的位置，可以用直角坐标來獨特表達。隻要從點 P畫一條垂直于 x-軸的直線。從這條直線與 x-軸的相交點，可以找到點 P 的 x-坐标。同樣地，可以找到點 P 的 y-坐标。這樣，我們可以得到點 P 的直角坐标。
直角坐标系也可以推廣至三維空間（3 dimension）與高維空間 (higher dimension) 。
直角坐标系的兩個坐标軸将平面分成了四個部分，稱為象限，分别用羅馬數字編号為Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ。依照慣例，象限Ⅰ的兩個坐标都是正值；象限Ⅱ的 x-坐标是負值， y-坐标是正值；象限Ⅲ的兩個坐标都是負值的；象限Ⅳ的 x-坐标是正值， y-坐标是負值。所以，象限的編号是按照逆時針方向，從象限Ⅰ編到象限Ⅳ。
三維坐标系
仿射坐标系和笛卡爾坐标系平面向空間的推廣：相交于原點的三條不共面的數軸構成空間的仿射坐标系。三條數軸上度量單位相等的仿射坐标系被稱為空間笛卡爾坐标系。三條數軸互相垂直的笛卡爾坐标系被稱為空間笛卡爾直角坐标系，否則被稱為空間笛卡爾斜角坐标系。
我們需要3個軸來表示三維坐标系，前兩個軸延續2D坐标系的x軸和y軸，第3個軸叫做z軸。
2D平面中我們指定x軸向右為正、y軸向上為正的坐标系為表針形式，但是3D中并沒有這個标準。不同的左右、不同的研究領域使用不同的标準。
空間直角坐标系
為了溝通空間圖形與數的研究，我們需要建立空間的點與有序數組之間的聯系，為此我們通過引進空間直角坐标系來實現。 過定點O，作三條互相垂直的數軸，它們都以O為原點且一般具有相同的長度單位.這三條軸分别叫做x軸(橫軸）、y軸(縱軸)、z軸(豎軸)；統稱坐标軸.通常把x軸和y軸配置在水平面上，而z軸則是鉛垂線；它們的正方向要符合右手規則，即以右手握住z軸，當右手的四指從正向x軸以π/2角度轉向正向y軸時，大拇指的指向就是z軸的正向，這樣的三條坐标軸就組成了一個空間直角坐标系，點O叫做坐标原點。這樣就構成了一個笛卡爾坐标。
在三維笛卡爾坐标系中，三個平面，xy-平面，yz-平面，xz-平面，将三維空間分成了八個部分，稱為卦限(octant) 空。第Ⅰ卦限的每一個點的三個坐标都是正值。
産生過程
據說有一天，法國哲學家、數學家笛卡爾生病卧床，病情很重，盡管如此他還反複思考一個問題：幾何圖形是直觀的，而代數方程是比較抽象的，能不能把幾何圖形與代數方程結合起來，也就是說能不能用幾何圖形來表示方程呢？要想達到此目的，關鍵是如何把組成幾何圖形的點和滿足方程的每一組“數”挂上鈎，他苦苦思索，拼命琢磨，通過什麼樣的方法，才能把“點”和“數”聯系起來。突然，他看見屋頂角上的一隻蜘蛛，拉着絲垂了下來，一會功夫，蜘蛛又順着絲爬上去，在上邊左右拉絲。蜘蛛的“表演”使笛卡爾的思路豁然開朗。他想，可以把蜘蛛看做一個點，它在屋子裡可以上、下、左、右運動，能不能把蜘蛛的每個位置用一組數确定下來呢？他又想，屋子裡相鄰的兩面牆與地面交出了三條線，如果把地面上的牆角作為起點，把交出來的三條線作為三根數軸，那麼空間中任意一點的位置就可以用這三根數軸上找到有順序的三個數。反過來，任意給一組三個有順序的數也可以在空間中找出一點P與之對應，同樣道理，用一組數（x、y）可以表示平面上的一個點，平面上的一個點也可以有用一組兩個有順序的數來表示，這就是坐标系的雛形。
直角坐标系的創建，在代數和幾何上架起了一座橋梁，它使幾何概念用數來表示，幾何圖形也可以用代數形式來表示。由此笛卡爾在創立直角坐标系的基礎上，創造了用代數的方法來研究幾何圖形的數學分支——解析幾何， 他大膽設想：如果把幾何圖形看成是動點的運動軌迹，就可以把幾何圖形看成是由具有某種共同特征的點組成的。舉一個例子來說，我們可以把圓看作是動點到定點距離相等的點的軌迹，如果我們再把點看作是組成幾何圖形的基本元素，把數看作是組成方程的解，于是代數和幾何就這樣合為一家人了。
電影定義
在電影《異次元殺陣》系列中，笛卡爾坐标的定義有所差别。電影主要講述的是若幹人身處一個神秘密室（cube），密室是一個正方體，上下左右前後都有一道門，可以通往隔鄰的另一密室，隻有通過特定的方式才能逃離這個地方。Cube由一個巨大的立方體以及包在立方體外的一層外殼組成，兩者之間存在一定空間，大立方體内還包含許多小立方體房間，類似于魔方。Cube隻有一個出口，隻有到達了連接外殼與内部立方體的那個房間才能走出Cube，這個房間在影片中被稱為“橋”。每一個房間棱長14尺（略長于4米）。大立方體每條邊有26個房間的長度，所以一共是26*26*26=17576個房間的大小。（但事實上沒有那麼多房間，因為房間要移動必須留有一定的空間）
Cube中的每一個房間都标有三個三位數的數字。這三個三位數即構成了電影中所說的房間的笛卡爾坐标。電影中的笛卡爾坐标，它表示了點在空間中的位置，但卻和直角坐标有區别，兩種坐标可以相互轉換。舉個例子：某個點的笛卡爾坐标是493 ,454, 967，那它的X軸坐标就是4+9+3=16，Y軸坐标是4+5+4=13，Z軸坐标是9+6+7=22，因此這個點的直角坐标是(16, 13, 22)。
在電影中，所有的房間并非完全不動的，其運動規律也隐含在其笛卡爾坐标中。比如坐标為477, 804, 539的房間，它的直角坐标為(18, 12, 17)。對于每一個三位數數字作如下處理：
1. 百位數減去十位數
2. 十位數減去個位數
3. 個位數減去百位數
對三個數字都進行以上操作，也就是：
1. 477:4 - 7=-3 | 7-7=0 | 7-4=3
2. 804:8 - 0=8 | 0-4=-4 | 4-8=-4
3. 539:5 - 3=2 | 3-9=-6 |9-5=4
這樣就得到了三個向量(- 3, 8, 2)， (0, - 4, - 6)和(3, - 4, 4)。這三個向量表示了這個房間的移動軌迹，将轉換成直角坐标的表示房間初始位置的坐标（可以看成向量）依次加上這三個向量，即：
(18, 12, 17) + (- 3, 8, 2) = (15 ,20, 19)
(15, 20, 19) + (0, - 4, - 6) = (15, 16, 13)
(15, 16, 13) + (3, - 4, 4) = (18, 12, 17)
可以看到經過了三次變化以後又回到了原來的初始坐标(18, 12, 17)。每個房間也就是根據這個規律以(18, 12, 17) --> (15, 20, 19) --> (15, 16, 13) --> (18, 12, 17) -->…的軌迹移動的。
最後需要強調的是，數學中的 笛卡爾坐标系與電影《異次元殺陣》中的笛卡爾坐标的定義存在較大的差異，數學中的直角坐标屬于笛卡爾坐标的一種，請勿混淆。（因為笛卡爾坐标系就是直角坐标系和斜角坐标系的統稱，直角坐标即為直角坐标系中的笛卡爾坐标）
備注
笛卡爾在《方法談》一書附錄的《幾何學》這篇論文中，闡述了解析幾何的基本原理，創造了笛卡爾坐标系。
在笛卡爾以前，幾何和代數是兩門科學，幾何研究圖形，代數研究數。笛卡爾不滿意這兩門科學孤立研究的抽象性，企圖使二者聯系起來，并使它們具體化。他通過他所設計的坐标系統标示法，以及他對于變數的深入研究，證明幾何問題可以歸結為代數問題，在求解時可以運用全部代數方法。從此，變數被引進了數學，成為數學發展中的轉折點，為微積分的出現創造了條件。笛卡爾坐标系被廣泛地應用在工程技術和物理學領域中。
