完全平方數:能表示成某個整數的平方的形式-中文百科頻道

定義及性質

如果一個正整數 a 是某一個整數 b 的平方，那麼這個正整數 a 叫做完全平方數。零也可稱為完全平方數。其性質如下：

（1）平方數的個位數字隻能是 0， 1，4，5，6，9 。

（2）任何偶數的平方一定能被 4 整除；任何奇數的平方被 4(或 8)除餘 1，即被4 除餘 2 或 3 的數一定不是完全平方數。

（3）完全平方數的個位數字是奇數時，其十位上的數字必為偶數。完全平方數的個位數字是 6 時，其十位數字必為奇數。

（4）凡個位數字是 5 但末兩位數字不是 25 的自然數不是完全平方數；末尾隻有奇數個 0 的自然數不是完全平方數；個位數字是 1，4，9 而十位數字為奇數的自然數不是完全平方數。

（5）除 1 外，一個完全平方數分解質因數後，各個質因數的指數都是偶數，如果一個數質分解後，各個指數都為偶數，那麼它肯定是個平方數。完全平方數的所有因數的總個數是奇數個。因數個數為奇數的自然數一定是完全平方數。

（6）若質數 p 整除完全平方數 a，則 |a。

（7）如果 a 、b 是完全平方數， c=ab ，那麼 c 也是完全平方數。

（8）兩個連續自然數的乘積一定不是平方數，兩個連續自然數的平方數之間不再有平方數。

（9）如果十位數字是奇數，則它的個位數字一定是6；反之也成立。

推論1：如果一個數的十位數字是奇數，而個位數字不是6，那麼這個數一定不是完全平方數。

推論2：如果一個完全平方數的個位數字不是6，則它的十位數字是偶數。

（10）偶數的平方是4的倍數；奇數的平方是4的倍數加1。

（11）奇數的平方是8n+1型；偶數的平方為8n或8n+4型。（奇數：n比那個所乘的數-1；偶數：n比那個所乘的數-2）

（12）形式必為下列兩種之一：3k,3k+1。

（13）不是5的因數或倍數的數的平方為5k+-1型，是5的因數或倍數的數為5k型。

（14）形式具有下列形式之一：16m,16m+1,16m+4,16m+9。

（15）性質11：如果質數p能整除a，但p的平方不能整除a，則a不是完全平方數。

（16）在兩個相鄰的整數的平方數之間的所有整數都不是完全平方數。

（17）一個正整數n是完全平方數的充分必要條件是n有奇數個因數（包括1和n本身）。

重要結論

（1）個位數是2、3、7、8的整數一定不是完全平方數；

（2）個位數和十位數都是奇數的整數一定不是完全平方數；

（3）個位數是6，十位數是偶數的整數一定不是完全平方數；

（4）形如3n+2型的整數一定不是完全平方數；

（5）形如4n+2和4n+3型的整數一定不是完全平方數；

（6）形如5n±2型的整數一定不是完全平方數；

（7）形如8n+2,8n+3,8n+5,8n+6,8n+7型的整數一定不是完全平方數；

（8）數字和是2、3、5、6、8的整數一定不是完全平方數；

（9）四平方和定理：每個正整數均可表示為4個整數的平方和；

（10）完全平方數的因數個數一定是奇數。

完全平方式和完全平方數的區别

完全平方式

完全平方式分兩種：

（1）完全平方和公式，就是兩個整式的和括号外的平方，例如：

（a+b）2=a2+2ab+b2

（2）完全平方差公式，就是兩個整式的差括号外的平方。例如：

（a-b）2=a2-2ab+b2

口訣：首末兩項算平方，首末項乘積的2倍中間放，符号随中央。（就是把兩項的乘方分别算出來，再算出兩項的乘積，再乘以2，然後把這個數放在兩數的乘方的中間，這個數以前一個數間的符号随原式中間的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用-，後邊的符号都用+）

區别

一個數如果是另一個整數的完全平方，那麼我們就稱這個數為完全平方數，也叫做平方數。

它與完全平方式的區别是：完全平方式是代數式，完全平方數是自然數。

讨論題示例

（1986年第27屆IMO試題）設正整數d不等于2,5,13，求證在集合{2,5,13,d}中可以找到兩個不同的元素a,b，使得ab -1不是完全平方數。解：顯然2*5-1=9 2*13-1=25 5*13-1=64都為完全平方數　　假設2d-1為完全平方數,注意到d為正整數,2d-1為奇數不妨設2d-1=(2n-1)^2 得 d=2n^2-2n+1　　此時5d-1=10n^2-10n+4不是完全平方數　　同理假設5d-1 13d-1 為完全平方數可以分d為奇偶去證明.

求k的最大值，使2010可以表示為k個連續正整數之和。解：假設這k個數為 a,a+1,a+2,...,a+(k-1)　　它們的和為 ka+k(k-1)/2=2010　　k(k+2a-1)=2*2010=2^2*5*3*67=60*67　　顯然k最大隻能是60,此時a=4。