定義
合數指自然數中除了能被1和本身整除外，還能被其他數（0除外）整除的數。
性質
所有大于2的偶數都是合數。
所有大于5的奇數中，個位為5的都是合數。
除0以外，所有個位為0的自然數都是合數。
所有個位為4，6，8的自然數都是合數。
最小的（偶）合數為4，最小的奇合數為9。
每一個合數都可以以唯一形式被寫成質數的乘積，即分解質因數。(算術基本定理)
對任一大于5的合數(威爾遜定理):
類型
合數的一種方法為計算其質因數的個數。一個有兩個質因數的合數稱為半質數，有三個質因數的合數則稱為楔形數。在一些的應用中，亦可以将合數分為有奇數的質因數的合數及有偶數的質因數的合數。對于後者，（其中μ為默比烏斯函數且''x''為質因數個數的一半），而前者則為
注意，對于質數，此函數會傳回 -1，且。而對于有一個或多個重複質因數的數字''n''，。
另一種分類合數的方法為計算其因數的個數。所有的合數都至少有三個因數。一質數的平方數，其因數有。一數若有著比它小的整數都還多的因數，則稱此數為高合成數。另外，完全平方數的因數個數為奇數個，而其他的合數則皆為偶數個。
合數可分為奇合數和偶合數，也能基本合數（能被2或3整除的），分陰性合數（6N-1）和陽性合數（6N+1），還能分雙因子合數和多因子合數。
相關
隻有1和它本身兩個因數的自然數，叫質數（或稱素數）。（如：由2÷1=2，2÷2=1，可知2的因數隻有1和它本身2這兩個因數，所以2就是質數。與之相對立的是合數：“除了1和它本身兩個因數外，還有其它因數的數，叫合數。”如：4÷1=4，4÷2=2，4÷4=1，很顯然，4的因數除了1和它本身4這兩個因數以外，還有因數2，所以4是合數。）
100以内的質數有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，一共有25個。
質數的個數是無窮的。歐幾裡得的《幾何原本》中的證明使用了證明常用的方法：反證法。具體證明如下：假設質數隻有有限的n個，從小到大依次排列為p1，P2，……，pn，設N=p1×p2×……×pn，那麼，N+1是素數或者不是素數。
如果N+1為素數，則N+1要大于p1，p2，……，pn，所以它不在那些假設的素數集合中。
如果N+1為合數，因為任何一個合數都可以分解為幾個素數的積；而N和N+1的最大公約數是1，所以N+1不可能被p1，p2，……，pn整除，所以該合數分解得到的素因數肯定不在假設的素數集合中。
因此無論該數是素數還是合數，都意味着在假設的有限個素數之外還存在着其他素數。所以原先的假設不成立。也就是說，素數有無窮多個。
其他數學家給出了一些不同的證明。歐拉利用黎曼函數證明了全部素數的倒數之和是發散的，恩斯特·庫默的證明更為簡潔，Hillel Furstenberg則用拓撲學加以證明。
任何一個大于1的自然數N，都可以唯一分解成有限個質數的乘積，這裡P1
這樣的分解稱為N的标準分解式。
算術基本定理的内容由兩部分構成：分解的存在性、分解的唯一性（即若不考慮排列的順序，正整數分解為素數乘積的方式是唯一的）。
算術基本定理是初等數論中一個基本的定理，也是許多其他定理的邏輯支撐點和出發點。
此定理可推廣至更一般的交換代數和代數數論。高斯證明複整數環Z[i]也有唯一分解定理。它也誘導了諸如唯一分解整環，歐幾裡得整環等等概念，更一般的還有戴德金理想分解定理。
上下素性判定法
命題 1對于B=36N+1 形數而言。
若不定方程（3N）^2+N-（B-1）/36=W^2 有整數解，
則 6（3N-W）+1 是小因子數；6（3N+W）+1 是大因子數。
若不定方程 （3N）^2-N-（B-1）/36=W^2 有整數解，
則 6（3N-W）-1 是小因子數；6（3N+W）-1 是大因子數。
兩式都無解，是素數。
命題 2對于B=36N+7 形數而言。
若不定方 （3N）^2+4N-（B-7）/36=W^2+W 有整數解，
則 6（3N-W）+1 是小因子數，6（3N+W+1）+1 是大因子數。
若不定方程 （3N+2）^2+2N+2-（B+29）/36=W^2+W 有整數解，
則 6（3N+2-W）-1 是小因子數，6（3N+W+3）-1 是大因子數。
兩式都無解，是素數。
命題 3對于B=36N+13 形數而言。
若不定方程 （3N+1）^2+N-（B-13）/36=W^2 有整數解，
則 6（3N+1-W）+1 是小因子數，6（3N+1+W）+1是大因子數。
若不定方程 （3N+2）^2-N-（B+23）/36=W2 有整數解，
則 6（3N+2-W）-1 是小因子數，6（3N+2+W）-1是大因子數。
兩式都無解，是素數。
命題 4對于B=36N+19 形數而言。
若不定方程（3N+1）^2+4N+1-（B-19）/36=W^2 +W 有整數解，
則 6（3N+1-W）+1 是小因子數；6（3N+2+W）+1 是大因子數。
若不定方程 （3N+1）^2+2N+1-（B+17）/36=W^2 +W 有整數解，
則 6（3N+1-W）-1 是小因子數；6（3N+2+W）-1 是大因子數。
兩式都無解，是素數。
命題 5對于B=36N+25 形數而言。
若不定方 （3N+2）^2+N-（B-25）/36=W^2有整數解，
則 6（3N+2-W）+1 是小因子數，6（3N+2+W）+1 是大因子數。
若不定方程 （3N+1）^2-N-（B+11）/36=W^2有整數解，
則 6（3N+1-W）-1 是小因子數，6（3N+1+W）-1 是大因子數。
兩式都無解，是素數。
命題 6對于B=36N+31 形數而言。
若不定方程 （3N+2）^2+4N+2-（B-31）/36=W^2 +W 有整數解，
則 6（3N+2-W）+1 是小因子數，6（3N+3+W）+1是大因子數。
若不定方程 （3N+1）^2-4N-1-（B+5）/36=W^2+W有整數解，
則 6（3N-W）-1 是小因子數，6（3N+1+W）-1是大因子數。
兩式都無解，是素數。
命題 7對于B=36N-1 形數而言。
若不定方程（3N）^2-N+（B+1）/36=W^2 有整數解，
則 6（3N-W）+1 是小因子數；6（3N+W）-1 是大因子數。
若不定方程 （3N）^2+N+（B+1）/36=W^2 有整數解，
則 6（W-3N）-1 是小因子數；6（W+3N）+1 是大因子數。
兩式都無解，是素數。
命題 8對于B=36N+5 形數而言。
若不定方 （3N）^2+2N+（B-5）/36=W^2+W 有整數解，
則 6（W-3N）+1 是小因子數，6（W+3N+1）-1 是大因子數。
若不定方程 （3N+2）^2+4N+2+（B+31）/36=W^2+W 有整數解，
則 6（W-3N-2）-1 是小因子數，6（W+3N+3）+1 是大因子數。
兩式都無解，是素數。
命題 9對于B=36N+11 形數而言。
若不定方程 （3N+1）^2-N+（B-11）/36=W^2 有整數解，
則 6（W-3N-1）+1 是小因子數，6（W+3N+1）-1是大因子數。
若不定方程 （3N+2）^2+N+(B+25）/36=W2 有整數解，
則 6(W-3N-2）-1 是小因子數，6（W+3N+2）+1是大因子數。
兩式都無解，是素數。
命題 10對于B=36N+17 形數而言。
若不定方程（3N+1）^2+2N+1+（B-17）/36=W^2 +W 有整數解，
則 6（W-3N-1）+1 是小因子數；6（W+3N+2）-1 是大因子數。
若不定方程 （3N+1）^2+4N+1+（B+19）/36=W^2 +W 有整數解，
則 6（W-3N-1）-1 是小因子數；6（W+3N+2）+1 是大因子數。
兩式都無解，是素數。
命題 11對于B=36N+23 形數而言。
若不定方 （3N+2）^2-N+（B-23）/36=W^2有整數解，
則 6（W-3N-2）+1 是小因子數，6（W+3N+2）+1 是大因子數。
若不定方程 （3N+1）^2+N+（B+13）/36=W^2有整數解，
則 6（W-3N-1）-1 是小因子數，6（W+3N+1）+1 是大因子數。
兩式都無解，是素數。
命題 12對于B=36N+29 形數而言。
若不定方程 （3N+2）^2+2N+2+（B-29）/36=W^2 +W 有整數解，
則 6（W-3N-2）+1 是小因子數，6（W+3N+3）-1是大因子數。
若不定方程 （3N）^2-4N+（B+7）/36=W^2+W有整數解，
則 6（W-3N）-1 是小因子數，6（W+3N+1）+1是大因子數。
兩式都無解，是素數。
關于哥德巴赫猜想(Su Bin):設（2+Na）*(2+Nb)=x經過推導得(x-4)^2=3(Na+Nb)^2+2NaNb(x-1)
所以x≥4,且x≠5.所以x≥6.
左邊為合數，右邊是兩個數的和。
