對數:計算特殊多位數之間乘積的工具-中文百科頻道

簡介

規範用詞：

對數

英語名：

logarithm

見載：

數學名詞

學科：

數學_分析學 _分析學基礎?實分析

公布年度：

1993

對數函數

函數依賴于α和x二者，但是術語對數函數在标準用法中用來稱呼形如的函數，在其中底數α是固定的而隻有一個參數x。所以對每個基的值（不得是負數、0或1）隻有唯一的對數函數。從這個角度看，底數α的對數函數是指數函數的反函數。詞語“對數”經常用來稱呼對數函數自身和這個函數的1個特定值。

對數函數圖像和指數函數圖像關于直線y=x對稱，互為逆函數。

對數函數的性質有：

都過(1,0)點；

定義域為|R|≠0，值域為R；

α>1，在(0,+∞)上是增函數；1>α>0時，在(0,+∞)上是減函數。

零沒有對數

在實數範圍内，負數無對數。在複數範圍内，負數有對數。如：

㏑(-5)=㏑[(-1)*5]=㏑(-1)+㏑5=iπ+㏑5.

而事實上，當θ=(2k+1)π時(k∈Z），e^[(2k+1)πi]+1=0，這樣，㏑(-1)的具有周期性的多個值，㏑(-1)=(2k+1)πi。這樣，任意一個負數的自然對數都具有周期性的多個值。例如：㏑(-5)=(2k+1)πi+㏑5。

loga1=0，logaa=1

性質推導

定義：

若a^n=b(a>0且a≠1)

則n=log(a)(b)

基本性質：

1、a^(log(a)(b))=b

2、log(a)(a^b)=b

3、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);

4、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N);

5、log(a)(M^n)=nlog(a)(M)6、log(a^n)M=1/nlog(a)(M)

推導

1、因為n=log(a)(b)，代入則a^n=b，即a^(log(a)(b))=b。

2、因為a^b=a^b

令t=a^b

所以a^b=t，b=log(a)(t)=log(a)(a^b)

3、MN=M×N

由基本性質1(換掉M和N)

a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)]×a^[log(a)(N)]

由指數的性質

a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]}

又因為指數函數是單調函數，所以

log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N)

4、與（3）類似處理

MN=M÷N

由基本性質1(換掉M和N)

a^[log(a)(M÷N)] = a^[log(a)(M)]÷a^[log(a)(N)]

由指數的性質

a^[log(a)(M÷N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]}

又因為指數函數是單調函數，所以

log(a)(M÷N) = log(a)(M) - log(a)(N)

5、與（3）類似處理

M^n=M^n

由基本性質1(換掉M)

a^[log(a)(M^n)] = {a^[log(a)(M)]}^n

由指數的性質

a^[log(a)(M^n)] = a^{[log(a)(M)]*n}

又因為指數函數是單調函數，所以

log(a)(M^n)=nlog(a)(M)

基本性質4推廣

log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]

推導如下：

由換底公式（換底公式見下面）[lnx是log(e)(x)，e稱作自然對數的底]

log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)

換底公式的推導：

設e^x=b^m,e^y=a^n

則log(a^n)(b^m)=log(e^y)(e^x)=x/y

x=ln(b^m),y=ln(a^n)

得：log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)

由基本性質4可得

log(a^n)(b^m) = [m×ln(b)]÷[n×ln(a)] = (m÷n)×{[ln(b)]÷[ln(a)]}

再由換底公式

log(a^n)(b^m)=m÷n×[log(a)(b)]

函數圖象

1.對數函數的圖象都過(1,0)點.

2.對于y=log(a)(n)函數,

①,當0<1時,圖象上函數顯示為(0,+∞)單減.随着a 的增大,圖象逐漸以(1,0)點為軸順時針轉動,但不超過X=1.

②當a>1時,圖象上顯示函數為(0,+∞)單增,随着a的增大,圖象逐漸以(1.0)點為軸逆時針轉動,但不超過X=1.

3.與其他函數與反函數之間圖象關系相同,對數函數和指數函數的圖象關于直線y=x對稱.

其他性質

性質一：換底公式

log(a)(N)=log(b)(N)÷log(b)(a)

推導如下：

N = a^[log(a)(N)]

a = b^[log(b)(a)]

綜合兩式可得

N = {b^[log(b)(a)]}^[log(a)(N)] = b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}

又因為N=b^[log(b)(N)]

所以 b^[log(b)(N)] = b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}

所以 log(b)(N) = [log(a)(N)]*[log(b)(a)] {這步不明白或有疑問看上面的}

所以log(a)(N)=log(b)(N) / log(b)(a)

公式二：log(a)(b)=1/log(b)(a)

證明如下：

由換底公式 log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a) ----取以b為底的對數

log(b)(b)=1 =1/log(b)(a) 還可變形得: log(a)(b)×log(b)(a)=1

在實用上，常采用以10為底的對數，并将對數記号簡寫為lgb,稱為常用對數，它适用于求十進伯制整數或小數的對數。例如lg10=1,lg100=lg102=2,lg4000=lg（103×4）=3+lg4,可見隻要對某一範圍的數編制出對數表，便可利用來計算其他十進制數的對數的近似值。在數學理論上一般都用以無理數e=2.7182818……為底的對數，并将記号 loge。簡寫為ln，稱為自然對數，因為自然對數函數的導數表達式特别簡潔，所以顯出了它比其他對數在理論上的優越性。曆史上，數學工作者們編制了多種不同精确度的常用對數表和自然對數表。但随着電子技術的發展，這些數表已逐漸被現代的電子計算工具所取代。

指數對數不等式

1．解題思路：化超越不等式為代數不等式，依據是指數函數和對數函數的單調性。

2．常見題型及等價轉化：

(1)(a>0,a≠1)。當0<1時，f(x)1時，f(x)>g(x)。<1時，

(2)m·(ax)2+n·(ax)+k>0。令ax=t(t>0)，轉化為mt2+nt+k>0，先求t的取值範圍，再确定x的集合。

(3)logaf(x)>logag(x)(a>0,a≠1)。

當0<1時，

當a>1時，

(4)。

令logaf(x)=t(t∈R)，轉化為mt2+nt+k>0，先求t的取值範圍，再确定x的集合。

3．例題

例1．解不等式。