匈牙利算法

匈牙利算法

求最大匹配的一种显而易见的算法是:先找出全部匹配，然后保留匹配数最多的。但是这个算法的复杂度为边数的指数级函数。因此，需要寻求一种更加高效的算法。

增广路的定义(也称增广轨或交错轨)：

若P是图G中一条连通两个未匹配顶点的路径，并且属于M的边和不属于M的边（即已匹配和待匹配的边）在P上交替出现，则称P为相对于M的一条增广路径。

结论

由增广路的定义可以推出下述三个结论：

1－P的路径长度必定为奇数，第一条边和最后一条边都不属于M。

2－P经过取反操作可以得到一个更大的匹配M’。

3－M为G的最大匹配当且仅当不存在相对于M的增广路径。

用增广路求最大匹配（称作匈牙利算法，匈牙利数学家edmonds于1965年提出）

算法轮廓：

(1)置M为空

(2)找出一条增广路径P，通过取反操作获得更大的匹配M’代替M

(3)重复(2)操作直到找不出增广路径为止