历史
1801年，意大利天文学家朱赛普·皮亚齐发现了第一颗小行星谷神星。经过40天的跟踪观测后，由于谷神星运行至太阳背后，使得皮亚齐失去了谷神星的位置。随后全世界的科学家利用皮亚齐的观测数据开始寻找谷神星，但是根据大多数人计算的结果来寻找谷神星都没有结果。时年24岁的高斯也计算了谷神星的轨道。奥地利天文学家海因里希·奥尔伯斯根据高斯计算出来的轨道重新发现了谷神星。
高斯使用的最小二乘法的方法发表于1809年他的着作《天体运动论》中。
法国科学家勒让德于1806年独立发明“最小二乘法”，但因不为世人所知而默默无闻。
勒让德曾与高斯为谁最早创立最小二乘法原理发生争执。
1829年，高斯提供了最小二乘法的优化效果强于其他方法的证明，因此被称为高斯-马尔可夫定理。（来自于wikipedia）
原理
在我们研究两个变量（x,y）之间的相互关系时，通常可以得到一系列成对的数据（x1,y1.x2,y2...xm,ym）；将这些数据描绘在x-y直角坐标系中，若发现这些点在一条直线附近，可以令这条直线方程如（式1-1）。
其中：a0、a1是任意实数
为建立这直线方程就要确定a0和a1，应用《最小二乘法原理》，将实测值Yi与利用计算值Yj（Yj=a0+a1X）（式1-1）的离差（Yi-Yj）的平方和
最小为“优化判据”。
把（式1-1）代入（式1-2）中得：
当最小时，可用函数φ对a0、a1求偏导数，令这两个偏导数等于零。
∑（a0+a1*Xi-Yi）=0（式1-4)
∑Xi（a0+a1*Xi-Yi）=0（式1-5)
亦即：
na0+（∑Xi)a1=∑Yi（式1-6)
（∑Xi)a0+（∑Xi^2)a1=∑（Xi*Yi)（式1-7)
得到的两个关于a0、a1为未知数的两个方程组，解这两个方程组得出：
a0=（∑Yi)/n-a1（∑Xi)/n（式1-8)
a1=[n∑(XiYi)-（∑Xi∑Yi)]/[n∑(Xi^2)-（∑Xi)^2)]（式1-9)
这时把a0、a1代入（式1-1）中，此时的(式1-1）就是我们回归的一元线性方程即：数学模型。
在回归过程中，回归的关联式不可能全部通过每个回归数据点（x1,y1.x2,y2...xm,ym），为了判断关联式的好坏，可借助相关系数“R”，统计量“F”，剩余标准偏差“S”进行判断；“R”越趋近于1越好；“F”的绝对值越大越好；“S”越趋近于0越好。
R=[∑XiYi-m（∑Xi/m）（∑Yi/m)]/SQR{[∑Xi2-m（∑Xi/m)2][∑Yi2-m（∑Yi/m)2]}（式1-10)*
在（式1-10）中，m为样本容量，即实验次数；Xi、Yi分别为任意一组实验数据X、Y的数值。
公式
最小二乘法公式
注：以下“平”是指某参数的算数平均值。如：X平——x的算术平均值。
1、∑（X--X平）（Y--Y平）=
∑（XY--X平Y--XY平+X平Y平）=
∑XY--X平∑Y--Y平∑X+nX平Y平=
∑XY--nX平Y平--nX平Y平+nX平Y平=∑XY--nX平Y平；
2、∑（X--X平）^2=
∑（X^2--2XX平+X平^2)=
∑X^2--2nX平^2+nX平^2=∑X^2--nX平^2；
3、Y=kX+b
k=（（XY）平--X平*Y平）/（（X^2）平--(X平）^2），
=Y平--kX平；
X平=1/n∑Xi，
(XY）平=1/n∑XiYi；
拟合
对给定数据点{(Xi，Yi)}(i=0,1，…，m），在取定的函数类Φ中，求p(x）∈Φ，使误差的平方和E^2最小，E^2=∑[p(Xi)-Yi]^2。从几何意义上讲，就是寻求与给定点{(Xi，Yi)}(i=0,1，…，m）的距离平方和为最小的曲线y=p(x)。函数p(x)称为拟合函数或最小二乘解，求拟合函数p(x)的方法称为曲线拟合的最小二乘法。
最小二乘法的矩阵形式
最小二乘法的矩阵形式为：
其中为的矩阵，为的列向量，为的列向量。如果（方程的个数大于未知量的个数），这个方程系统称为矛盾方程组（OverDeterminedSystem），如果（方程的个数小于未知量的个数），这个系统就是UnderDeterminedSystem。
正常来看，这个方程是没有解的，但在数值计算领域，我们通常是计算，解出其中的。比较直观的做法是求解，但通常比较低效。其中一种常见的解法是对进行QR分解（），其中是正交矩阵（OrthonormalMatrix），是上三角矩阵（UpperTriangularMatrix），则有用MATLAB命令可解得。
最小二乘法的Matlab实现
①一次函数线性拟合使用polyfit（x,y,1）
②多项式函数线性拟合使用polyfit（x,y,n），n为次数
拟合曲线
x=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0]，
y=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60]。
解：MATLAB程序如下：
x=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0];
y=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60];
p=polyfit(x,y,2)
x1=0.5:0.5:3.0;
y1=polyval(p,x1);
plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b')
计算结果为：
p=0.56140.82871.1560
即所得多项式为y=0.5614x^2+0.8287x+1.15560
③非线性函数使用
lsqcurvefit(fun,x0,x,y)
a=nlinfit(x,y,fun,b0)
最小二乘法在交通运输学中的运用
交通发生预测的目的是建立分区产生的交通量与分区土地利用、社会经济特征等变量之间的定量关系，推算规划年各分区所产生的交通量。因为一次出行有两个端点，所以我们要分别分析一个区生成的交通和吸引的交通。交通发生预测通常有两种方法：回归分析法和聚类分析法。
回归分析法是根据对因变量与一个或多个自变量的统计分析，建立因变量和自变量的关系，最简单的情况就是一元回归分析，一般式为：Y=α+βX式中Y是因变量，X是自变量，α和β是回归系数。若用上述公式预测小区的交通生成，则以下标i标记所有变量；如果用它研究分区交通吸引，则以下标j标记所有变量。而运用公式的过程中需要利用最小二乘法来求解，上述公式中的回归系数根据最小二乘法可得：
其中，式中的X拔是规划年的自变量值，Y拔是规划年分区交通生成（或吸引）预测值。
