公式推导
分部积分法：设及是两个关于的函数，各自具有连续导数及，且不定积分存在，按照乘积函数求微分法则，则有存在，且得分部积分公式如下
证明：由
或
对上式两边求不定积分，即得分部积分公式，也将其简写为
如果将和用微分形式写出，则亦可得出
上两式就把的积分转化为的积分，即将复杂的被积函数简单化。
例如，要求，则依分部积分法则，令
如此
则按上述公式有
四种典型模式
一般地，从要求的积分式中将凑成是容易的，但通常有原则可依，也就是说不当的分部变换不仅不会使被积分式得到精简，而且可能会更麻烦。分部积分法最重要之处就在于准确地选取因为一旦确定，则公式中右边第二项中的也随之确定，但为了使式子得到精简，如何选取则要依的复杂程度决定，也就是说，选取的一定要使比之前的形式更简单或更有利于求得积分。依照经验，可以得到下面四种典型的模式。记忆模式口诀：反（函数）对（数函数）幂（函数）指（数函数）三（角函数）。
模式一
通过对求微分后，中的比更加简洁，而与的类型相似或复杂程度相当。
例如，对于形如的不定积分（其中为次多项式），由于对多项式求微分可以降次，且三角函数或指函数的积分则较容易求得，所以可以令，而将另一个函数看成通过分部求得积分。
例如 求
首先，
对该式第二项再按此模式进行分部积分，得
故原式
模式二
通过对求微分使得它的类型与的类型相同或相近，然后将它们作为一个统一的函数来处理。例如对形如
等的积分，总是令，则则为一个次的多项式，另一个函数（等）看成。通过分部积分，很容易求出不定积分。
例如，求
而该式第二项为
故原积分式
模式三
利用有些函数经一次或二次求微分后不变的性质，通过一次或二次分部积分后，使等式右端再次产生
只要它的系数不为1，就可以利用解方程的方法求出原积分。
例如，对于积分
按法则对他们进行分部积分得
这样，所求积分均由另一个积分所表示出来，将这两式相加和相减（即解方程）得到所求积分表达式
以及
这两个通用表达式就可以求出该类型的所有积分式，比如
模式四
对某些形如的不定积分，利用分部积分可降低的次数，求得递推公式，然后再次利用递推公式，求出。
例如，对于积分
当时，
当时，
而该式的第二项又可变换为
将其带入上式，则得到
故
最后，得到统一的递推关系式
定积分
与不定积分的分部积分法一样，可得
简写为
例如
示例
例1：
例2：
回代即可得到的值。
