基本介绍
毕达哥拉斯三元数组(Pythagorean triple)亦称勾股数组，又称商高数组，是一个著名的不定方程问题，指三元二次不定方程的正整数解。若正整数
能使成立，则是一个 毕达哥拉斯三元数组。本原毕达哥拉斯三元数组
当
时，则称为本原毕达哥拉斯三元数组。找出所有毕达哥拉斯三元数组就等同于求出不定方程的所有正整数解。本原毕达哥拉斯三元数组亦称为方程(1)的本原解，它有以下性质：1.若
是满足方程(1)的本原毕达哥拉斯三元数组，则x，y中有且仅有一数为偶数。因此，z必为奇数。2.若
是满足方程(1)的本原毕达哥拉斯三元数组，且设x为偶数，则存在正整数m和n，能使成立。3.若
则是满足方程(1)的毕达哥拉斯三元数组。如果还有和则是本原毕达哥拉斯三元数组。相关介绍
中国古代数学书《周髀算经》中记载了托古传闻商高答周公：“故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五”。说明至少在成书时已经知道方程(1)的一个特解。毕达哥拉斯(Pythagoras)创立毕达哥拉斯学派，在数学方面给出了方程(1)的部分正整数解，后被欧几里得(Euclid)记入《几何原本》中，并把表达直角三角形三边关系的(1)式称为毕达哥拉斯定理。费马(P.deFermat)从1637年开始对丢番图(Diophantus)的《算术》进行评注，导致他提出了在数论发展史上非常重要的10个问题，其中有3个与勾股数组有关的问题是：
1.形如
的素数能够而且只能够以一种方式表达为两个平方数之和。1749年，欧拉(L.Euler)已给出了证明。近代有人把素数中的具体表示为，其中r，n满足勒让德符号并且2.每一个正整数能够表成四个整数的平方和(参见“华林问题”)。3.不定方程
没有的整数解。还有一个与毕达哥拉斯三元数组有关的猜想：设
是满足不定方程(1)的毕达哥拉斯三元数组，且满足，则此猜想仍未彻底解决。
