簡介
在一個斜面上，擺兩條軌道，一條是直線，一條是曲線，起點高度以及終點高度都相同。兩個質量、大小一樣的小球同時從起點向下滑落，曲線的小球反而先到終點。這是由于曲線軌道上的小球先達到最高速度，所以先到達。然而，兩點之間的直線隻有一條，曲線卻有無數條，那麼，哪一條才是最快的呢？伽利略于1630年提出了這個問題，當時他認為這條線應該是一條圓弧，可是後來人們發現這個答案是錯誤的。1696年，瑞士數學家約翰·伯努利解決了這個問題，他還拿這個問題向其他數學家提出了公開挑戰。牛頓、萊布尼茲、洛比達以及雅克布·伯努利等解決了這個問題。這條最速降線就是一條擺線，也叫旋輪線。
旋輪線與1673年荷蘭科學家惠更斯讨論的擺線相同。因為鐘表擺錘作一次完全擺動所用的時間相等，所以擺線（旋輪線）又稱等時曲線。
看一個稍微有點振奮人心的東西，約翰·伯努利對最速降線問題的非常精妙的解答：
如果使分成的層數n無限地增加，即每層的厚度無限地變薄，則質點的運動便趨于空間A、B兩點間質點運動的真實情況，此時折線也就無限增多，其形狀就趨近我們所要求的曲線——最速降線．而折線的每一段趨向于曲線的切線，因而得出最速降線的一個重要性質：任意一點上切線和鉛垂線所成的角度的正弦與該點落下的高度的平方根的比是常數．而具有這種性質的曲線就是擺線．所謂擺線，它是一個圓沿着一條直線滾動正（無滑動）時，圓周上任意一點的軌迹。
因此，最速降線就是擺線，隻不過在最速降線問題中，這條擺線是上、下颠倒過來的罷了。
求解
列出表達式
設 O, A是高度不同，且不在同一鉛垂線上的兩定點，如果不計摩擦和空氣阻力，一質點 m在重力作用下從 O點沿一曲線降落至 。A(p,q) A點，問曲線呈何種形狀時，質點降落的時間最短。
設曲線為 y=y(x) ，坐标如圖1 所示，質點由 O點開始運動，它的速度 v與它的縱坐标有關系
式中， g是重力加速度。
在曲線上點 (x, y) 處，質點的運動速度為
式中， s表示曲線的弧長， t表示時間，于是
由于點 O, A的橫坐标分别是 0, p，則質點 m從 O點運動到 A點所需時間為
這樣，質點由 O點運動到 A點所需時間 t是 y(x)的函數，最速降線問題就是滿足邊界條件的
所有連續函數 y(x)中，求出一個函數 y使泛函式取最小值。
對泛函求極值的問題稱為變分問題，使泛函取極值的函數稱為變分問題的解，也稱為極值函數。
最終解答
解
且y(0)=0,y(p)=q
這樣
其E-L方程為
由于
所以有
則可得
上式對θ求導，所以
根據曲線過原點(0,0)及(p,q)可求出x0=0及r，這樣，所求曲線為
應用
最速降線無論在數學上還是物理上都進行過嚴格的證明, 對工程來說, 其物理原理為在同一高度滾下的兩個球, 兩球下滾的原因都是受重力分力的作用, 沿直線下滾的球, 下滑的加速度保持不變, 速度穩定地增加。沿着旋輪線下滑時, 開始的一段的坡度非常大, 使得下滑的球在非常短的時間内取得的下滑速度非常大。雖然, 在下滑的後半階段, 坡度逐漸變小、速度增加變緩, 但此時的下滑速度已經變得很大。所以, 沿着旋輪線下滑在整個下滑階段的平均速度很大。即使旋輪線的長度比直線的長度大, 沿着旋輪線下滑的時間也比直線短。
例如，最速降線理論在糧食倉儲物流中有廣泛的應用, 在解決倉儲工藝和設備上可發揮重要作用, 如改善空氣斜槽、溜管和布糧器等設備的性能參數, 優化糧食倉儲工藝等。
