由來
中文數學書上使用的“函數”一詞是轉譯詞。是我國清代數學家李善蘭在翻譯《代數學》（1859年）一書時，把“function”譯成“函數”的.
中國古代“函”字與“含”字通用，都有着“包含”的意思.李善蘭給出的定義是：“凡式中含天，為天之函數.”中國古代用天、地、人、物4個字來表示4個不同的未知數或變量.這個定義的含義是：“凡是公式中含有變量x，則該式子叫做x的函數.”所以“函數”是指公式裡含有變量的意思.我們所說的方程的确切定義是指含有未知數的等式。但是方程一詞在我國早期的數學專着《九章算術》中,意思指的是包含多個未知量的聯立一次方程，即所說的線性方程組。
特性
有界性
設函數f(x)在區間X上有定義，如果存在M>0,對于一起屬于區間X上的x，恒有,則稱f(x)在區間X上有界，否則稱f(x)在區間上無界。
單調性
設函數f(x)的定義域為D，區間I包含于D。如果對于區間上任意兩點x及x，當xf(x)，則稱函數f(x)在區間I上是單調遞減的。單調遞增和單調遞減的函數統稱為單調函數。
複變函數
複變函數是定義域為複數集合的函數。
複數的概念起源于求方程的根，在二次、三次代數方程的求根中就出現了負數開平方的情況。在很長時間裡，人們對這類數不能理解。但随着數學的發展，這類數的重要性就日益顯現出來。複數的一般形式是：a+bi，其中i是虛數單位。極限的運算題目類型多,而且技巧性強,靈活多變,難教也難學。極限被稱為高等數學學習的第一個難關,為此,對高等數學中一元函數極限的常見求解方法進行了歸納總結,并在某些具體求解方法中就其中要注意的細節和技巧做了說明,以便我們了解函數的各種極限以及對各類函數極限進行計算,希望對整個高等數學的教和學有一定的指導意義。
以複數作為自變量的函數就叫做複變函數，而與之相關的理論就是複變函數論。解析函數是複變函數中一類具有解析性質的函數，複變函數論主要就研究複數域上的解析函數，因此通常也稱複變函數論為解析函數論。
複變函數論的發展簡況
複變函數論産生于十八世紀。1774年，歐拉在他的一篇論文中考慮了由複變函數的積分導出的兩個方程。而比他更早時，法國數學家達朗貝爾在他的關于流體力學的論文中，就已經得到了它們。因此，後來人們提到這兩個方程，把它們叫做“達朗貝爾-歐拉方程”。到了十九世紀，上述兩個方程在柯西和黎曼研究流體力學時，作了更詳細的研究，所以這兩個方程也被叫做“柯西-黎曼條件”。
複變函數論的全面發展是在十九世紀，就象微積分的直接擴展統治了十八世紀的數學那樣，複變函數這個新的分支統治了十九世紀的數學。當時的數學家公認複變函數論是最豐饒的數學分支，并且稱為這個世紀的數學享受，也有人稱贊它是抽象科學中最和諧的理論之一。
為複變函數論的創建做了最早期工作的是歐拉、達朗貝爾，法國的拉普拉斯也随後研究過複變函數的積分，他們都是創建這門學科的先驅。
後來為這門學科的發展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德國數學家維爾斯特拉斯。二十世紀初，複變函數論又有了很大的進展，維爾斯特拉斯的學生，瑞典數學家列夫勒、法國數學家彭加勒、阿達瑪等都作了大量的研究工作，開拓了複變函數論更廣闊的研究領域，為這門學科的發展做出了貢獻。
複變函數論在應用方面，涉及的面很廣，有很多複雜的計算都是用它來解決的。比如物理學上有很多不同的穩定平面場，所謂場就是每點對應有物理量的一個區域，對它們的計算就是通過複變函數來解決的。
比如俄國的茹柯夫斯基在設計飛機的時候，就用複變函數論解決了飛機機翼的結構問題，他在運用複變函數論解決流體力學和航空力學方面的問題上也做出了貢獻。
複變函數論不但在其他學科得到了廣泛的應用，而且在數學領域的許多分支也都應用了它的理論。它已經深入到微分方程、積分方程、概率論和數論等學科，對它們的發展很有影響。
複變函數論的内容
複變函數論主要包括單值解析函數理論、黎曼曲面理論、幾何函數論、留數理論、廣義解析函數等方面的内容。
如果當函數的變量取某一定值的時候，函數就有一個唯一确定的值，那麼這個函數解就叫做單值解析函數，多項式就是這樣的函數。
複變函數也研究多值函數，黎曼曲面理論是研究多值函數的主要工具。由許多層面安放在一起而構成的一種曲面叫做黎曼曲面。利用這種曲面，可以使多值函數的單值枝和枝點概念在幾何上有非常直觀的表示和說明。對于某一個多值函數，如果能作出它的黎曼曲面，那麼，函數在離曼曲面上就變成單值函數。
黎曼曲面理論是複變函數域和幾何間的一座橋梁，能夠使我們把比較深奧的函數的解析性質和幾何聯系起來。關于黎曼曲面的研究還對另一門數學分支拓撲學有比較大的影響，逐漸地趨向于讨論它的拓撲性質。
複變函數論中用幾何方法來說明、解決問題的内容，一般叫做幾何函數論，複變函數可以通過共形映象理論為它的性質提供幾何說明。導數處處不是零的解析函數所實現的映象就都是共形映象，共形映象也叫做保角變換。共形映象在流體力學、空氣動力學、彈性理論、靜電場理論等方面都得到了廣泛的應用。
留數理論是複變函數論中一個重要的理論。留數也叫做殘數，它的定義比較複雜。應用留數理論對于複變函數積分的計算比起線積分計算方便。計算實變函數定積分，可以化為複變函數沿閉回路曲線的積分後，再用留數基本定理化為被積分函數在閉合回路曲線内部孤立奇點上求留數的計算，當奇點是極點的時候，計算更加簡潔。
把單值解析函數的一些條件适當地改變和補充，以滿足實際研究工作的需要，這種經過改變的解析函數叫做廣義解析函數。廣義解析函數所代表的幾何圖形的變化叫做拟保角變換。解析函數的一些基本性質，隻要稍加改變後，同樣适用于廣義解析函數。
廣義解析函數的應用範圍很廣泛，不但應用在流體力學的研究方面，而且象薄殼理論這樣的固體力學部門也在應用。因此，自2002年來這方面的理論發展十分迅速。
從柯西算起，複變函數論已有170多年的曆史了。它以其完美的理論與精湛的技巧成為數學的一個重要組成部分。它曾經推動過一些學科的發展，并且常常作為一個有力的工具被應用在實際問題中，它的基礎内容已成為理工科很多專業的必修課程。2002年，複變函數論中仍然有不少尚待研究的課題，所以它将繼續向前發展，并将取得更多應用。
