定理定義
原表達形式
伯努利原理往往被表述為：
這個式子被稱為伯努利方程。式中, 為流體中某點的壓強，v為流體該點的流速, 為流體密度, 為重力加速度, 為該點 所在高度， C是一個常量。它也可以被表述為:
驗證推導
假設條件
使用伯努利定律必須符合以下假設，方可使用；如沒完全符合以下假設，所求的解也是近似值。
定常流：在流動系統中，流體在任何一點之性質不随時間改變 。
不可壓縮流：密度為常數，在流體為氣體适用于馬赫數（Ma）<0.3 。
無摩擦流：摩擦效應可忽略，忽略黏滞性效應 。
流體沿着流線流動：流體元素沿着流線而流動，流線間彼此是不相交的 。
定理推廣
應用舉例1
飛機為什麼能夠飛上天？因為機翼受到向上的升力。飛機飛行時機翼周圍空氣的流線分布是指機翼橫截面的形狀上下不對稱，機翼上方的流線密，流速大，下方的流線疏，流速小。由伯努利方程可知，機翼上方的壓強小，下方的壓強大。這樣就産生了作用在機翼上的方向的升力 。
應用舉例2
噴霧器是利用流速大、壓強小的原理制成的。讓空氣從小孔迅速流出，小孔附近的壓強小，容器裡液面上的空氣壓強大，液體就沿小孔下邊的細管升上來。從細管的上口流出後，空氣流的沖擊，被噴成霧狀 。
應用舉例3
汽油發動機的化油器，與噴霧器的原理相同。化油器是向汽缸裡供給燃料與空氣的混合物的裝置，構造原理是指當汽缸裡的活塞做吸氣沖程時，空氣被吸入管内，在流經管的狹窄部分時流速大，壓強小，汽油就從安裝在狹窄部分的噴嘴流出，被噴成霧狀，形成油氣混合物進入汽缸 。
應用舉例4
球類比賽中的“旋轉球”具有很大的威力。旋轉球和不轉球的飛行軌迹不同，是因為球的周圍空氣流動情況不同造成的。不轉球水平向左運動時周同空氣的流線。球的上方和下方流線對稱，流速相同，上下不産生壓強差。再考慮球的旋轉，轉動軸通過球心且平行于地面，球逆時針旋轉。球旋轉時會帶動周同得空氣跟着它一起旋轉，緻使球的下方空氣的流速增大，上方的流速減小，球下方的流速大，壓強小，上方的流速小，壓強大。跟不轉球相比，旋轉球因為旋轉而受到向下的力，飛行軌迹要向下彎曲。
應用舉例5
表示乒乓球的上旋球，轉動軸垂直于球飛行的方向且與台面平行，球向逆時針方向旋轉。在相同的條件下，上旋球比不轉球的飛行弧度要低下旋球正好相反，球要向反方向旋轉，受到向上的力，比不轉球的飛行弧度要高。
應用舉例6
一支筆筒，向大口這邊吹氣，小口上放一個小球，小球能在空氣中旋轉。
應用舉例7
在漏鬥寬大處放一小球，用手抵住，在小口中吹氣同時放開，小球上方的流線密，流速大，下方的流線疏，流速小，故小球不會落下，隻會在漏鬥中跳躍。
應用舉例8
壓氣機：燃氣渦輪發動機中利用高速旋轉的葉片給空氣作功以提高空氣壓力的部件。在動葉中，氣體相對速度減小，壓力升高，靜葉中絕對速度減小，使氣體靜壓升高 。
應用舉例9
泥沙運動時，由于水流流動，泥沙顆粒頂部和底部的流速不同，前者為水流的運動速度，後者則為顆粒間滲透水的流動速度，比水流的速度要小得多，根據伯努利定律，頂部流速高，壓力小，底部流速低，壓力高。這樣造成的壓差産生了上舉力 。
發展簡史
1912年的秋天，當時世界上最大的輪船之一、遠洋貨輪“奧林匹克号”正在大海上航行。突然，一艘比它小得多的鐵甲巡洋艦“豪克号”從後面追了上來，在離它100m的地方幾乎跟它平行地疾馳。就在這時，一件意外的事情發生了：“豪克号”好像着了魔似的，竟然扭轉船頭朝“奧林匹克号”沖了過來，“豪克号”上的舵手怎麼操作也沒有用。結果，“奧林匹克号”無可奈何地接受了“豪克号”的親密接觸，并付出了極大的代價——船舷被“豪克号”撞了一個大洞 。
在海事法庭審理這件奇案的時候，“奧林匹克号”的船長被判為有過失的一方，法院認為，這是因為他沒有發出任何命令給橫着撞過來的“豪克号”讓路。船長雖然感到自己很冤枉，但沒有辦法解釋，隻好蒙冤受屈。案子就這樣結束了，但這件事情卻引起了一些科學家的注意，他們認為這次事件一定事出有因 。
其實，早在1726年，有一個叫丹尼爾·伯努利（1700-1782）的人就已經注意到：如果水沿着一條有寬有窄的溝（或粗細不均的管子）向前流動，溝的較窄部分就流得快些，但水流對溝壁的壓力比較小；反之，在較寬的部分水就流得較慢，壓向溝壁的力則會比較大。這一發現，後來被人們稱為伯努利原理 。
這個原理雖然發現得較早，但一直不被人們重視。出現了“奧林匹克号”被撞事件後，一些科學家突然想到，用這一原理來解釋這次事故是非常合情合理的。于是，自此以後伯努利原理才漸漸得到了它應受的重視。這是一條普遍性的原理，它不僅對于流動的水是适用的，而且對于流動的其他液體甚至氣體也适用。
定理意義
丹尼爾·伯努利出生于荷蘭的格羅甯根，16歲時獲藝術碩士學位，21歲時又獲得醫學博士學位。他曾申請解剖學和植物學教授職位，但未成功。
丹尼爾受父兄影響，一直很喜歡數學。1724年，他在去威尼斯的旅途中發表了《數學練習》一文，引起學術界關注，并被邀請到聖彼得堡科學院工作。1725年，25歲的丹尼爾受聘為聖彼得堡科學院生理學院士和數學院士。1727年，20歲的歐拉（後人将他與阿基米德、牛頓和高斯并列為數學史上的“四傑”）到聖彼得堡工作，成為丹尼爾的助手。
然而，丹尼爾不習慣聖彼得堡的生活，以至于8年以後的1733年，他找到機會返回巴塞爾，終于在那兒成為解剖學和植物學教授，後又成為物理學教授。
1734年，丹尼爾榮獲巴黎科學院獎金，以後又10次獲得該獎金。能與丹尼爾媲美的隻有大數學家歐拉。丹尼爾和歐拉保持了近40年的學術通信，在科學史上留下了一段佳話。
在伯努利家族中，丹尼爾是涉及科學領域較多的人。他出版了經典著作《流體動力學》，研究了彈性弦的橫向振動問題，提出了聲音在空氣中的傳播規律。他的論著還涉及天文學、地球引力、潮汐、磁學、振動理論、船體航行的穩定和生理學内容等。博學的丹尼爾成為伯努利家族的代表人物。
丹尼爾于1747年當選為柏林科學院院士，1748年當選巴黎科學院院士，1750年當選英國皇家學會會員。
1782年3月17日，丹尼爾·伯努利在瑞士巴塞爾逝世，終年82歲。
