定義
一個平面圖形L繞平面上某點O旋轉α(0<α<360)後得到的新圖形L*如果與L完全重合,則稱L是平面旋轉對稱圖形,并稱L具有旋轉對稱性。稱點O為平面旋轉圖形L的旋轉中心,稱α為平面旋轉圖形L的旋轉角。
性質
1、如果α是平面旋轉圖形L的旋轉角,那麼α的正整數倍nα(0
2、如果平面旋轉圖形L的不是圓,α是平面旋轉圖形L的旋轉角,那麼α/360必是小于1的正有理數R。n如果這裡的可以表示為既約分數m/n,則β=α/m=2π/n是平面旋轉圖形L的指最小旋轉角。
判定
(1)若函數f(θ)(θ∈R)滿足f(θ+α)=f(θ)(0<α<360),則極坐标系中曲線L:ρ=f(θ)是旋轉對稱圖形,α是平面旋轉圖形L的旋轉角。
(2)若函數f(θ)(θ∈R)滿足f(θ+α)=﹣f(θ)(0<α<π),則極坐标系中曲線L:ρ=f(θ)是旋轉對稱圖形,2α是平面旋轉圖形L的旋轉角。
例如:當f(θ)=sin3θ(θ∈R)滿足f(θ+π/3)=﹣f(θ)。極坐标系中曲線L:ρ=sin3θ是以2π/3為旋轉角的旋轉對稱圖形(三葉玫瑰線)。
定義(2)中的旋轉角2α未必是平面旋轉圖形L的最小旋轉角,例如:當f(θ)=sin2θ(θ∈R)滿足f(θ+π/2)=﹣f(θ)。極坐标系中曲線L:ρ=sin2θ是以π為旋轉角的旋轉對稱圖形,但是實際上π/2才是平面旋轉圖形L(四葉玫瑰線)的最小旋轉角。
以上判定條件均是充分條件。
性質
(1)所有的中心對稱圖形都是旋轉對稱圖形。例如:線段、正2n邊形、平行四邊形、圓都是旋轉對稱圖形。
常見的旋轉對稱圖形有:線段、正多邊形、平行四邊形、圓 等。
(2)有兩條(或更多)相交對稱軸的軸對稱圖形都是旋轉對稱圖形。例: 正n邊形(最小旋轉角為360/n)、圓、五角星(最小旋轉角為360/5即72)、中華台北奧林匹克委員會梅花圖案徽标的輪廓等。
特殊例子
香港特别行政區區徽紫荊花圖案是一個以72°為旋轉角的旋轉對稱圖形,但她既不是軸對稱圖形,也不是中心對稱圖形。