簡介
拉氏變換英文名為LaplaceTransform，為法國著名數學家拉普拉斯（Laplace,Pierre-Simon,marquisde）創立。主要運用于現代控制領域，和傅氏變換并稱為控制理論中的兩大變換。
定義
拉氏變換即拉普拉斯變換。為簡化計算而建立的實變量函數和複變量函數間的一種函數變換。拉普拉斯變換的這種運算步驟對于求解線性微分方程尤為有效，它可把微分方程化為容易求解的代數方程來處理，從而使計算簡化。
推導
如果定義：
f(t),是一個關于t,的函數，使得當t<0,時候，f(t)=0,：
s,是一個複變量：
mathcal是一個運算符号，它代表對其對F象進行拉普拉斯積分int_0^inftye^,dt；F(s),是f(t),的拉普拉斯變換結果。
則f(t),的拉普拉斯變換由下列式子給出：
F(s),=mathcalleft=int_^inftyf(t),e^,dt
拉普拉斯逆變換，是已知F(s),，求解f(t),的過程。用符号mathcal^,表示。
拉普拉斯逆變換的公式是：
對于所有的t>0,：
f(t)
=mathcal^left
=fracint_^F(s),e^,ds
c,是收斂區間的橫坐标值，是一個實常數且大于所有F(s),的個别點的實部值。
引入拉普拉斯變換的一個主要優點，是可采用傳遞函數代替微分方程來描述系統的特性。這就為采用直觀和簡便的圖解方法來确定控制系統的整個特性（見信号流程圖、動态結構圖）、分析控制系統的運動過程（見奈奎斯特穩定判據、根軌迹法），以及綜合控制系統的校正裝置（見控制系統校正方法）提供了可能性。
用f(t)表示實變量t的一個函數，F(s)表示它的拉普拉斯變換，它是複變量s=σ+jΩ;的一個函數，其中σ和&owega;均為實變數,j2=-1。F(s)和f(t)間的關系由下面定義的積分所确定：
如果對于實部σ>σc的所有s值上述積分均存在，而對σ≤σc時積分不存在，便稱σc為f(t)的收斂系數。對給定的實變量函數f(t)，隻有當σc為有限值時，其拉普拉斯變換F(s)才存在。習慣上,常稱F(s)為f(t)的象函數,記為F(s)=L[f(t)];稱f(t)為F(s)的原函數,記為ft=L-1[F(s)]。
函數變換對和運算變換性質利用定義積分，很容易建立起原函數f(t)和象函數F(s)間的變換對，以及f(t)在實數域内的運算與F(s)在複數域内的運算間的對應關系。
物理意義
拉氏變換是将時間函數f(t)變換為複變函數F(s)，或作相反變換。時域(t)變量t是實數，複頻域F(s)變量s是複數。變量s又稱“複頻率”。拉氏變換建立了時域與複頻域(s域）之間的聯系。s=jw，當中的j是複數單位，所以使用的是複頻域。通俗的解釋方法是，因為系統中有電感X=jwL、電容X=1/jwC，物理意義是，系統H(s)對不同的頻率分量有不同的衰減，即這種衰減是發生在頻域的，所以為了與時域區别，引入複數的運算。但是在複頻域計算的形式仍然滿足歐姆定理、KCL、KVL、疊加法。
逆變換
拉普拉斯變換為F(s),=mathcalleft=int_^inftyf(t),e^,dt，那麼拉普拉斯逆變換，是已知F(s),，求解f(t),的過程。用符号mathcal^,表示。
拉普拉斯逆變換的公式是：對于所有的t>0,；f(t)=mathcal^left=fracint_^F(s),e^,dsc,是收斂區間的橫坐标值，是一個實常數且大于所有F(s),的個别點的實部值。為簡化計算而建立的實變量函數和複變量函數間的一種函數變換。對一個實變量函數作拉普拉斯變換，并在複數域中作各種運算，再将運算結果作拉普拉斯反變換來求得實數域中的相應結果，往往比直接在實數域中求出同樣的結果在計算上容易得多。拉普拉斯變換的這種運算步驟對于求解線性微分方程尤為有效，它可把微分方程化為容易求解的代數方程來處理，從而使計算簡化。在經典控制理論中，對控制系統的分析和綜合，都是建立在拉普拉斯變換的基礎上的。
引入拉普拉斯變換的一個主要優點，是可采用傳遞函數代替微分方程來描述系統的特性。這就為采用直觀和簡便的圖解方法來确定控制系統的整個特性（見信号流程圖、動态結構圖）、分析控制系統的運動過程（見奈奎斯特穩定判據、根軌迹法），以及綜合控制系統的校正裝置（見控制系統校正方法）提供了可能性。
用f(t)表示實變量t的一個函數，F(s)表示它的拉普拉斯變換，它是複變量s=σ+j&owega;的一個函數，其中σ和&owega;均為實變數,j2=-1。F(s)和f(t)間的關系由下面定義的積分所确定：如果對于實部σ>σc的所有s值上述積分均存在，而對σ≤σc時積分不存在，便稱σc為f(t)的收斂系數。對給定的實變量函數f(t)，隻有當σc為有限值時，其拉普拉斯變換F(s)才存在。習慣上,常稱F(s)為f(t)的象函數,記為F(s)=L[f(t)];稱f(t)為F(s)的原函數,記為ft=L-1[F(s)]。函數變換對和運算變換性質利用定義積分，很容易建立起原函數f(t)和象函數F(s)間的變換對，以及f(t)在實數域内的運算與F(s)在複數域内的運算間的對應關系。表1和表2分别列出了最常用的一些函數變換對和運算變換性質。
