簡介
在數學中，通常用點表示位置，用射線表示方向。在平面内，從任一點出發的所有射線，可以分别用來表示平面内的各個方向。向量的表示向量的表示向量常用一條有向線段來表示，有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向。向量也可用字母a、b、c等表示，或用表示向量的有向線段的起點和終點字母表示。向量的大小，也就是向量的長度（或稱模），記作|a|長度為0的向量叫做零向量，記作0．長度等于1個單位長度的向量，叫做單位向量。
平行向量與相等向量
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。向量a、b、c平行，記作a∥b∥c。0向量長度為零，是起點與終點重合的向量，其方向不确定，數學上規定0與任一向量平行。
長度相等且方向相同的向量叫做相等向量。向量a與b相等，記作a=b。零向量與零向量相等。任意兩個相等的非零向量，都可用同一條有向線段來表示，并且與有向線段的起點無關。
向量空間的同構
在域F上的兩個向量空間V與V' ，如果存在一個雙射φ：V→V'并且φ(aμ bν)=aφ(μ) bφ(ν)，a，b∈F，μ，ν∈V．這樣V與V' 便是同構。
向量線性映射
給兩個向量空間V和W在同一個F場，設定由V到W的線性變換或“線性映射” . 這些由V到W的映射都有共同點就是它們保持總和及标量商數。這個集合包含所有由V到W的線性映像，以 L（V，W） 來描述，也是一個F場裡的向量空間。當V及W被确定後，線性映射可以用矩陣來表達。同構是一對一的一張線性映射.如果在V 和W之間存在同構, 我們稱這兩個空間為同構；他們根本上是然後相同的。一個在F場的向量空間加上線性映像就可以構成一個範疇，即阿貝爾範疇。
概念化及額外結構
研究向量空間一般會涉及一些額外結構。額外結構如下：
一個實數或複數向量空間加上長度概念。就是範數稱為賦範向量空間。
一個實數或複數向量空間加上長度和角度的概念，稱為内積空間。
一個向量空間加上拓撲學符合運算的（加法及标量乘法是連續映射）稱為拓撲向量空間。
一個向量空間加上雙線性算子（定義為向量乘法）是個域代數。
子空間及基
一個向量空間V的一個非空子集合W在加法及标量乘法中表現密閉性，被稱為V的線性子空間。給出一個向量集合B，那麼包含它的最小子空間就稱為它的擴張，記作span（B）。給出一個向量集合B，若它的擴張就是向量空間V， 則稱B為V的生成集。一個向量空間V最大的線性獨立子集，稱為這個空間的基。若V=0，唯一的基是空集。
對非零向量空間 V，基是 V 最小的生成集。如果一個向量空間 V 擁有一個元素個數有限的生成集，那麼就稱V是一個有限維空間。向量空間的所有基擁有相同基數，稱為該空間的維度。例如，實數向量空間：R0，R1，R2，R3。。。，R∞，。。。中，Rn 的維度就是n。空間内的每個向量都有唯一的方法表達成基中元素的線性組合。把基中元素排列，向量便可以座标系統來呈現。
來源
向量又稱為矢量，最初被應用于物理學。很多物理量如力、速度、位移以及電場強度、磁感應強度等都是向量．大約公元前350年前，古希臘著名學者亞裡士多德就知道了力可以表示成向量，兩個力的組合作用可用著名的平行四邊形法則來得到。“向量”一詞來自力學、解析幾何中的有向線段．最先使用有向線段表示向量的是英國科學家牛頓。 調查表明，一般日常生活中使用的的向量是一種帶幾何性質的量，除零向量外，總可以畫出箭頭表示方向。
但是在高等數學中還有更廣泛的向量。例如，把所有實系數多項式的全體看成一個多項式空間，這裡的多項式都可看成一個向量。在這種情況下，要找出起點和終點甚至畫出箭頭表示方向是辦不到的。這種空間中的向量比幾何中的向量要廣泛得多，可以是任意數學對象或物理對象．這樣，就可以指導線性代數方法應用到廣闊的自然科學領域中去了。
因此，向量空間的概念，已成了數學中最基本的概念和線性代數的中心内容，它的理論和方法在自然科學的各領域中得到了廣泛的應用。而向量及其線性運算也為“向量空間”這一抽象的概念提供出了一個具體的模型．
從數學發展史來看，曆史上很長一段時間，空間的向量結構并未被數學家們所認識，直到19世紀末20世紀初，人們才把空間的性質與向量運算聯系起來，使向量成為具有一套優良運算通性的數學體系。 向量能夠進入數學并得到發展的階段是18世紀末期，挪威測量學家威塞爾首次利用坐标平面上的點來表示複數a＋bi，并利用具有幾何意義的複數運算來定義向量的運算．把坐标平面上的點用向量表示出來，并把向量的幾何表示用于研究幾何問題與三角問題．人們逐步接受了複數，也學會了利用複數來表示和研究平面中的向量，向量就這樣平靜地進入了數學．
但複數的利用是受限制的，因為它僅能用于表示平面，若有不在同一平面上的力作用于同一物體，則需要尋找所謂三維“複數”以及相應的運算體系。19世紀中期，英國數學家漢密爾頓發明了四元數（包括數量部分和向量部分），以代表空間的向量。他的工作為向量代數和向量分析的建立奠定了基礎。随後，電磁理論的發現者，英國的數學物理學家麥克思韋爾把四元數的數量部分和向量部分分開處理，從而創造了大量的向量分析。
縱觀向量的發展史，我們發現它是物理與代數相互交織的結果。首先，是源于古希臘時期的向量加法（力學中的平行四邊形法則），然後18世紀随着複數（二元）的幾何化而以“有向線段”的存在，得到較大的發展。接着，數學家們從兩個角度對二維向量進行推廣，一方面，從物理應用角度，格雷斯曼将向量推廣到高維空間，但是因其高度抽象性而未及時受到重視。另一方面，哈密頓從純數學的角度将複數推廣到“四元數”，“四元數”在物理上的成功及麥克斯韋等大家推崇讓四元數得以重視和發展，并最終導緻了20世紀向量分析的産生。一切都不是偶然，但是偶然會讓必然的時間提前或延後。向為此做出努力的數學家們緻敬。
三維向量分析的開創，以及同四元數的正式分裂，是英國的居伯斯和海維塞德于19世紀80年代各自獨立完成的。他們提出，一個向量不過是四元數的向量部分，但不獨立于任何四元數。他們引進了兩種類型的乘法，即數量積和向量積。并把向量代數推廣到變向量的向量微積分。從此，向量的方法被引進到分析和解析幾何中來，并逐步完善，成為了一套優良的數學工具。
