空間向量

定理

1、共線向量定理

兩個空間向量a,b向量(b向量不等于0），a∥b的充要條件是存在唯一的實數λ，使a=λb

2、共面向量定理

如果兩個向量a,b不共線，則向量c與向量a,b共面的充要條件是：存在唯一的一對實數x,y,使c=ax+by

3、空間向量分解定理

如果三個向量a、b、c不共面，那麼對空間任一向量p，存在一個唯一的有序實數組x，y，z，使p=xa+yb+zc。

任意不共面的三個向量都可作為空間的一個基底，零向量的表示唯一。

卦限

三個坐标面把空間分成八個部分，每個部分叫做一個卦限。含有x軸正半軸、y軸正半軸、z軸正半軸的卦限稱為第一卦限，其他第二、三、四卦限，在xoy面的上方，按逆時針方向确定。在第一、二、三、四卦限下面的部分分别稱為第五、六、七、八卦限。

空間向量的八個卦限的符号

Ⅰ

Ⅱ

Ⅲ

Ⅳ

Ⅴ

Ⅵ

Ⅶ

Ⅷ

x

+

-

-

+

+

-

-

+

y

+

+

-

-

+

+

-

-

z

+

+

+

+

-

-

-

-

問題

立體幾何的計算和證明常常涉及到二大問題：一是位置關系，它主要包括線線垂直，線面垂直，線線平行，線面平行；二是度量問題，它主要包括點到線、點到面的距離，線線、線面所成角，面面所成角等。這裡比較多的主要是用向量證明線線、線面垂直及計算線線角，而如何用向量證明線面平行，計算點到平面的距離、線面角及面面角的例題不多，起到一個抛磚引玉的作用。

常識

以下用向量法求解的簡單常識：

1、空間一點P位于平面MAB的充要條件是存在唯一的有序實數對x、y，使得PM=xPA+yPB

2、對空間任一點O和不共線的三點A，B，C，若：OP=xOA+yOB+zOC（其中x+y+z=1），則四點P、A、B、C共面．

3、利用向量證a∥b，就是分别在a，b上取向量a=λb（λ∈R）．

4、利用向量證a⊥b，就是分别在a，b上取向量a·b=0．

5、利用向量求兩直線a與b的夾角，就是分别在a，b上取a,b，求：的問題．

6、利用向量求距離即求向量的模問題．

7、利用坐标法研究線面關系或求角和距離，關鍵是建立正确的空間直角坐标系，正确表達已知點的坐标．

計算

第一步：

按照圖形建立三維坐标系O-xyz

之後，将點的坐标帶進去，求出所需向量的坐标。

第二步：

求平面的法向量：

令法向量n=（x,y,z）

因為法向量垂直于此平面

所以n垂直于此面内兩相交直線（其方向向量為a，b)

可列出兩個方程n·a=0,n·b=0

兩個方程，三個未知數

然後根據計算方便

取z（或x或y）等于一個數（如：1，√2等）

代入即可求出面的一個法向量n的坐标了.

會求法向量後

1.斜線與平面所成的角就是求出斜線的方向向量與平面的法向量n的夾角，所求角為上述夾角的餘角或者夾角減去π/2.

2.點到平面的距離就是求出該面的法向量n在平面上任取(除被求點在該平面的射影外）一點，

求出平面外那點和你所取的那點所構成的向量，記為a

點到平面的距離就是法向量n與a的數量積的絕對值|n·a|除以法向量的模|n|即得所求.

3.二面角的求法就是求出兩個平面的法向量

可以求出兩個法向量的夾角為兩向量的數量積除以兩向量模的乘積：cos=|n·m|/(|n||m|)

那麼二面角就是上面求的兩法向量的夾角或者它的補角。

4.設直線l,m的方向向量分别為a,b，平面α,β的法向量分别為μ,ν則

線線平行l∥m<=>a∥b<=>a=kb

線面平行l∥α<=>a⊥μ<=>a·μ=0

面面平行α∥β<=>μ∥ν<=>μ=kν

線線垂直l⊥m<=>a⊥b<=>a·b=0

線面垂直l⊥α<=>a∥μ<=>a=kμ

面面垂直α⊥β<=>μ⊥ν<=>μ·ν=0

5.向量的坐标運算：設a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，則

1.|a|=√（x1²+y1²)

2.a+b=(x1+x2,y1+y2)

3.a-b=(x1-x2,y1-y2)

4.ka=k(x1,y1)=(kx1,ky1)

5.a·b=x1x2+y1y2

6.a∥b<=>x1y2=x2y1(一般寫為：x1y2-x2y1=0)

7.a⊥b<=>a·b=0<=>x1x2+y1y2=0

8.cos=（a·b）/（|a|·|b|）=(x1x2+y1y2)/[√(x1²+y1²)·√(x2²+y2²)]

注：x1中的1為下标，以此類推。