定義
截長補短法,是初中數學幾何題中一種輔助線的添加方法,也是把幾何題化難為易的一種思想。n
截長:1.過某一點作長邊的垂線 2.在長邊上截取一條與某一短邊相同的線段,再證剩下的線段與另一短邊相等。n
補短:1.延長短邊 2.通過旋轉等方式使兩短邊拼合到一起。
用法例題
例1:正方形AbcD中,點E在CD上,點F在BC上,∠EAF=45。求證:EF=DE+BF。
解:延長CD到點G,使得DG=BF,連接AG。
∵ABCD是正方形
∴∠ADG=∠ABF=90°
AD=AB
又∵DG=BF
∴ADG≌ABF(SAS)
∴∠GAD=∠FAB,AG=AF
∵ABCD是正方形
∴∠DAB=90°
=∠DAF+∠FAB
=∠DAF+∠GAD
=∠GAF
∴∠GAE=∠GAF-∠EAF
=90°-45°
=45°
∵∠GAE=∠FAE=45°,AG=AF
∴AE=AE
∴△EAG≌△EAF(SAS)
∴EF=GE
=GD+DE
=BF+DE
例2:如圖,已知AD∥BC,AB=AD+BC,E是CD的中點,求∠AEB的度數。n
解:向AE方向延長AE,交BC的延長線于F。n
∵∠5和∠6是對頂角
∴∠5=∠6n
又∵E是CD的中點n
∴DE=ECn
∵AD∥BCn
∴∠1=∠DCFn
在△AED和△CEF中:n
【∠5=∠6】n
【∠1=∠F】n
【DE=EC】n
∴△AED≌△CEF(AAS)n
∴AD=CF,AE=EFn
∴AB=AD+BCn
=CF+BCn
=BFn
∴△ABF是等腰三角形n
∵△ABF是等腰三角形,AE=EFn
∴BE⊥AFn
∴∠AEB=90
例3:如圖,在△ABC中,∠B=2∠C,AD平分∠BAC。求證:AB+BD=AC。
證明:在AC上截取AE=AB,連接DE。∵AD平分∠BAC
∴∠1=∠2
在△ABD和△AED中:
【AB=AE】
【∠1=∠2】
【AD=AD】
∴△ABD≌△AED(SAS)
∴BD=DE,∠B=∠3
又∵∠B=2∠C
∴∠3=2∠C
∵∠3=∠4+∠C
∴2∠C=∠4+∠C
∴∠C=∠4
∴DE=CE
∴BD=CE
∵AE+EC=AC
∴AB+BD=AC
例4:如圖,AC平分∠DAB,∠ADC+∠B=180°。求證:CD=CB。
證明:在AB上找一點E,使AE=AD,連接CE。∵AC平分∠DAB
∴∠DAC=∠BAC
在△ACD和△ACE中:
【AE=AD】
【∠DAC=∠BAC】
【AC=AC】
∴△ACD≌△ACE(SAS)
∴∠ADC=∠AEC,CD=CE
∵∠ADC=∠AEC
∴∠ADC+∠B
=∠AEC+∠B=180°
∵∠CEB+∠AEC=180°
∴∠B=∠CEB
∴CE=CB
∵CD=CE
∴CD=CB