简介
含有相同未知数的两个一次方程（或者一个二元一次方程和一元一次方程）联立起来，就组成了二元一次方程组。二元一次方程定义：一个含有两个未知数，并且未知项的指数都是1的整式方程，叫二元一次方程(linearequationoftwounknowns)。二元一次方程组定义：由两个二元一次方程组成的方程组，叫二元一次方程组(systemoflinearequationoftwounknowns)。二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个公共解，叫做二元一次方程组的解。一般解法，消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。
二元一次方程组(y=1x=1)加减法：将方程组中的两个等式用相加或者是相减的方法，抵消其中一个未知数，从而达到消元的目的，将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。代入消元法：通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程来解，这种解法叫做代入消元法，简称代入法。重点难点本节重点内容是二元一次方程组的概念以及如何用代入法和加减法解二元一次方程组，难点是根据方程的具体形式选择合适的解法。
解
使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的一组值，叫做二元一次方程的解。
二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做一组二元一次方程组的解。
求方程组的解的过程，叫做解二元一次方程组。
二元一次方程有无数个解，除非题目中有特殊条件。
但二元一次方程组有解，则有只且有唯一的一组解，即x，y的值只有一个。也有特殊的，例如无数个解：
(3X+4Y)=12 (x-y)=2
(6X+8Y)=24 (x+y)=3
无解：
(3X+4Y)=18
(4Y+3X)=24
二元一次方程的整数解就是一个二元一次方程的解是个整数。
解法
1、消元方法
“消元”是解二元一次方程的基本思路。所谓“消元”就是减少未知数的个数，使多元方程最终转化为一元多次方程再解出未知数。这种将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决的解法，叫做消元解法。
消元方法一般分为：
代入消元法，简称：代入法(常用）
加减消元法，简称：加减法（常用）
顺序消元法，（这种方法不常用）
整体代入法。（不常用）
以下是消元方法的举例：
{x-y=3 ①
{3x-8y=4②
由①得x=y+3③
③代入②得
3（y+3)-8y=4
解得y=1
所以x=4
则：这个二元一次方程组的解为
{x=4
{y=1
实用方法
{13x+14y=41
{14x+13y=40
27x+27y=81
y-x=1
27y=54
y=2
x=1
y=2
把y=2代入(3)得
即x=1
所以:x=1，y=2
最后 x=1 ， y=2， 解出来
特点:两方程相加减，单个x或单个y，这样就适用接下来的代入消元。
2、换元法
是二元一次方程的另一种方法，就是说把一个方程用其他未知数表示，再带入另一个方程中
如：
x+y=590
y+20=90%x
代入后就是：
x+90%x-20=590
例2：(x+5)+(y-4)=8
(x+5)-(y-4)=4
令x+5=m，y-4=n
原方程可写为
m+n=8
m-n=4
解得m=6，n=2
所以x+5=6，y-4=2
所以x=1，y=6
特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5，y-4之类，换元后可简化方程也是主要原因。
3、参数换元
例3， x:y=1:4
5x+6y=29
令x=t，y=4t
方程2可写为：5t+24t=29
29t=29
t=1
所以x=1，y=4
此外，还有代入法可做题。
x+y=5
3x+7y=-1
解：x=5-y
3（5-y）+7y=-1
15-3y+7y=-1
4y=-16
y=-4
得：x=9
y=-4
如果关于x，y的二元一次方程组3x-ay=16，的解是x=7你是否可以通过观察、研究，用简便方法求出下列关于
2x+by=15 y=1
x，y的方程组的解？
（1）方程组：3(x+y)-a(x-y)=16①
2(x+y)+b(x-y)=15②
(2)方程组：3（x-2y）÷2-a÷3y=16①
(x-2y)+b÷3y=15②
4、加减-代入混合使用的方法
例1，{13x+14y=41 (1)
{14x+13y=40 (2)
解:(2)-(1)得
x-y=-1
即x=y-1 (3)
把(3)代入(1)得
13(y-1)+14y=41
所以13y-13+14y=41
27y=54
y=2
把y=2代入(3)得
即x=1
所以:x=1，y=2
最后 x=1 ， y=2， 解出来
特点:两方程相加减，单个x或单个y，这样就适用接下来的代入消元。
相关题型
1、A,B两地相距500千米，甲、乙两车由两地相向而行，若同时出发则5小时相遇；若乙先出发5小时，则甲出发后3小时与乙相遇。求甲乙两车速度。
解：设甲车速度为X,乙车为Y
5X+5Y=500
5Y+3X+3Y=500
解得X=60,Y=40
答：甲车速度为60km/h，乙车速度为40km/h。
2、两个物体在周长等于100米的圆上运动，如果同向运动，那么它们每隔20秒相遇一次；如果相向运动，那么它们每隔5秒相遇一次。求每个物体的速度。
解：设速度快的为X,慢的为Y
20X=20Y+100
5X+5Y=100
解得X=12.5,Y=7.5
答：速度快的为12.5m/s,速度慢的为7.5m/s。
