实数集

简介

通俗地认为，通常包含所有有理数和无理数的集合就是实数集，通常用大写字母R表示。

18世纪，微积分学在实数的基础上发展起来。但当时的实数集并没有精确的定义。直到1871年，德国数学家康托尔第一次提出了实数的严格定义。定义是由四组公理为基础的：

加法定理

1.1.对于任意属于集合R的元素a、b，可以定义它们的加法a+b，且a+b属于R；

1.2.加法有恒元0，且a+0=0+a=a（从而存在相反数）；

1.3.加法有交换律，a+b=b+a；

1.4.加法有结合律，(a+b)+c=a+(b+c)。

乘法定理

2.1对于任意属于集合R的元素a、b，可以定义它们的乘法a·b，且a·b属于R；

2.2乘法有恒元1，且a·1=1·a=a（从而除0外存在倒数）；

2.3乘法有交换律，a·b=b·a；

2.4乘法有结合律，(a·b)·c=a·(b·c)；

2.5乘法对加法有分配律，即a·(b+c)=(b+c)·a=a·b+a·c。

序公理

3.1∀x、y∈R，xy中有且只有一个成立；

3.2若x

3.3若x0，则x·z

3.4传递性：若x

完备公理

(1)任何一个非空有上界的集合（包含于R）必有上确界。

(2)设A、B是两个包含于R的集合，且对任何x属于A，y属于B，都有x

符合以上四组公理的任何一个集合都叫做实数集，实数集的元素称为实数。