函数形式
含参变量α(α>0)的反常积分：
性质
收敛性
Φ（s）的收敛性：当
时是正常积分，所以其收敛；当时，由柯西判别法可推得其是收敛的。Ψ（s）的收敛性：当
时，由柯西判别法推得其是收敛的。故含参量积分Γ（x）在
时收敛，其定义域为。连续性
在任何闭区间[a,b]（a>0）上，对于函数Φ（s），当
时有 ≦ ，由于 收敛，从而在[a,b]上收敛；对于，当时，有，由于收敛，从而Ψ（s）在[a,b]上也一致收敛。于是在上连续。可导性
考察积分
。它在任何区间上一致收敛。于是由含参量反常积分的可微性得出Γ（s）在[a,b]上可导，由a，b的任意性，在上可导。递推公式
证明：
对下述积分应用分布积分法，有
令
就得到Γ函数的递推公式：推论：
Г函数
当s趋于0时， Γ（s）趋于+∞
Γ函数的图像
对于一切
，和 恒大于0，因此的图像位于s轴的上方，且是向下凸的。因为，所以在上仅存在的极小值点 且。又 在内严格增，在内严格减。由于
所以
由
和在上严格增可得：综上所述，
函数的图像如图1中部分所示。图1.伽马函数
Γ函数与Β函数之间的关系对于任意的实数p，q：
应用
已知
，试证。证明
