複合函數

定義

設y=f(u），u=g(x），當x在u=g(x）的定義域Dg中變化時，u=g(x）的值在y=f(u）的定義域Df内變化，因此變量x與y之間通過變量u形成的一種函數關系，記為：y=f(u)=f[g(x)]稱為複合函數(composite function)，其中x稱為自變量,u為中間變量,y為因變量（即函數）。

生成條件

不是任何兩個函數都可以複合成一個複合函數，隻有當μ=φ(x）的值域存在非空子集Zφ是y=f(μ）的定義域Df的子集時，二者才可以構成一個複合函數。

定義域

若函數y=f(u）的定義域是B,u=g(x）的定義域是A,則複合函數y=f[g(x)]的定義域是D={x|x∈A,且g(x）∈B} 綜合考慮各部分的x的取值範圍，取他們的交集。

求函數的定義域的主要考慮以下幾點：

⑴當為整式或奇次根式時，R；

⑵當為偶次根式時，被開方數不小于0（即≥0）；

⑶當為分式時，分母不為0；當分母是偶次根式時，被開方數大于0；

⑷當為指數式時，對零指數幂或負整數指數幂，底不為0（如，中）。

⑸當是由一些基本函數通過四則運算結合而成的，它的定義域應是使各部分都有意義的自變量的值組成的集合，即求各部分定義域集合的交集。

⑹分段函數的定義域是各段上自變量的取值集合的并集。

⑺由實際問題建立的函數，除了要考慮使解析式有意義外，還要考慮實際意義對自變量的要求

⑻對于含參數字母的函數，求定義域時一般要對字母的取值情況進行分類讨論，并要注意函數的定義域為非空集合。

⑼對數函數的真數必須大于零，底數大于零且不等于1。

⑽三角函數中的切割函數要注意對角變量的限制。

周期性

設y=f(u)，的最小正周期為T1,μ=φ(x)的最小正周期為T2,則y=f（μ）的最小正周期為T1*T2,任一周期可表示為k*T1*T2(k屬于R+）

增減性

依y=f(u)，μ=φ(x)的增減性決定。即“增增得增，減減得增，增減得減”，可以簡化為“同增異減”

判斷複合函數的單調性的步驟如下

：⑴求複合函數定義域；

⑵将複合函數分解為若幹個常見函數（一次、二次、幂、指、對函數）；

⑶判斷每個常見函數的單調性；

⑷将中間變量的取值範圍轉化為自變量的取值範圍；

⑸求出複合函數的單調性。

例如：讨論函數y=0.8^(x^2-4x+3)的單調性。解：函數定義域為R。

令u=x^2-4x+3,y=0.8^u。

指數函數y=0.8^u在（-∞，+∞）上是減函數，

u=x^2-4x+3在（-∞,2]上是減函數，在[2,+∞）上是增函數，

∴ 函數y=0.8^(x2-4x+3)在（-∞,2]上是增函數，在[2,+∞）上是減函數。

利用複合函數求參數取值範圍

求參數的取值範圍是一類重要問題，解題關鍵是建立關于這個參數的不等式組，必須

将已知的所有條件加以轉化。

求導

複合函數求導的前提：複合函數本身及所含函數都可導

法則1：設u=g(x)

f'(x)=f'(u)*g'(x)

法則2：設u=g(x),a=p(u)

f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x)

例如：

1、求：函數f(x)=(3x+2)^3+3的導數

設u=g(x)=3x+2

f(u)=u^3+3

f'(u)=3u^2=3(3x+2)^2

g'(x)=3

f'(x)=f'(u)*g'(x)=3(3x+2)^2*3=9(3x+2)^2

2、求f(x)=√[(x-4)^2+25]的導數

設u=g(x)=x-4,a=p(u)=u^2+25

f(a)=√a

f'(a)=1/(2√a)=1/{2√[(x-4)^2+25]}

p'(u)=2u=2(x-4)

g'(x)=1

f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x)=2(x-4)/{2√[(x-4)^2+25]}=(x-4)/√[(x-4)^2+25]