定義
定義一
如果用函數列
逼近函數Φ,取與Φ之差的模的上确界作為
與Φ的離差之測度,就稱這種逼近是一緻逼近,上式中Ω為在其内進行逼近的數集.若
和Φ皆連續,而Ω為緊集,則上确界的符号可改為極大值符号。定義二
① 對于任意的
,在範數的意義下定義兩個函數的距離:
② 若一個函數序列
在如上定義的距離的意義下滿足則稱
在上一緻收斂于f(x).通常也稱在度量
下的逼近問題為一緻逼近問題.最佳一緻逼近
最佳一緻逼近多項式
定義 設
,,稱為
對于的偏差,稱為
對的最小偏差,或稱最佳逼近.定義 設
,若使得則稱
是在上的最佳一緻逼近多項式或最小偏差逼近多項式,簡稱最佳逼近多項式.最佳一緻逼近多項式的存在性和唯一性
定理1 (Borel,1995)對于任何
,在中存在多項式,使得定理2 設
,,則為的最佳一緻逼近多項式的充分必要條件是,在上存在一個至少由個點組成的交錯點組。由該定理可知,若
,則在以存在唯一的最佳一緻逼近多項式,且最佳一緻逼近多項式是的一個拉格朗日插值多項式。實際求出最佳一緻逼近多項式
往往比較困難。一般利用下述定理求取最佳一緻逼近多項式。定理3 設
在上階可導,且 在上不變号,若是的最佳一緻逼近多項式,則端點a與b屬于的交錯點組。