定義
設y=f(u),u=g(x),當x在u=g(x)的定義域Dg中變化時,u=g(x)的值在y=f(u)的定義域Df内變化,因此變量x與y之間通過變量u形成的一種函數關系,記為:y=f(u)=f[g(x)]稱為複合函數(composite function),其中x稱為自變量,u為中間變量,y為因變量(即函數)。
生成條件
不是任何兩個函數都可以複合成一個複合函數,隻有當μ=φ(x)的值域存在非空子集Zφ是y=f(μ)的定義域Df的子集時,二者才可以構成一個複合函數。
定義域
若函數y=f(u)的定義域是B,u=g(x)的定義域是A,則複合函數y=f[g(x)]的定義域是D={x|x∈A,且g(x)∈B} 綜合考慮各部分的x的取值範圍,取他們的交集。
求函數的定義域的主要考慮以下幾點:
⑴當為整式或奇次根式時,R;
⑵當為偶次根式時,被開方數不小于0(即≥0);
⑶當為分式時,分母不為0;當分母是偶次根式時,被開方數大于0;
⑷當為指數式時,對零指數幂或負整數指數幂,底不為0(如,中)。
⑸當是由一些基本函數通過四則運算結合而成的,它的定義域應是使各部分都有意義的自變量的值組成的集合,即求各部分定義域集合的交集。
⑹分段函數的定義域是各段上自變量的取值集合的并集。
⑺由實際問題建立的函數,除了要考慮使解析式有意義外,還要考慮實際意義對自變量的要求
⑻對于含參數字母的函數,求定義域時一般要對字母的取值情況進行分類讨論,并要注意函數的定義域為非空集合。
⑼對數函數的真數必須大于零,底數大于零且不等于1。
⑽三角函數中的切割函數要注意對角變量的限制。
周期性
設y=f(u),的最小正周期為T1,μ=φ(x)的最小正周期為T2,則y=f(μ)的最小正周期為T1*T2,任一周期可表示為k*T1*T2(k屬于R+)
增減性
依y=f(u),μ=φ(x)的增減性決定。即“增增得增,減減得增,增減得減”,可以簡化為“同增異減”
判斷複合函數的單調性的步驟如下
:⑴求複合函數定義域;
⑵将複合函數分解為若幹個常見函數(一次、二次、幂、指、對函數);
⑶判斷每個常見函數的單調性;
⑷将中間變量的取值範圍轉化為自變量的取值範圍;
⑸求出複合函數的單調性。
例如:讨論函數y=0.8^(x^2-4x+3)的單調性。解:函數定義域為R。
令u=x^2-4x+3,y=0.8^u。
指數函數y=0.8^u在(-∞,+∞)上是減函數,
u=x^2-4x+3在(-∞,2]上是減函數,在[2,+∞)上是增函數,
∴ 函數y=0.8^(x2-4x+3)在(-∞,2]上是增函數,在[2,+∞)上是減函數。
利用複合函數求參數取值範圍
求參數的取值範圍是一類重要問題,解題關鍵是建立關于這個參數的不等式組,必須
将已知的所有條件加以轉化。
求導
複合函數求導的前提:複合函數本身及所含函數都可導
法則1:設u=g(x)
f'(x)=f'(u)*g'(x)
法則2:設u=g(x),a=p(u)
f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x)
例如:
1、求:函數f(x)=(3x+2)^3+3的導數
設u=g(x)=3x+2
f(u)=u^3+3
f'(u)=3u^2=3(3x+2)^2
g'(x)=3
f'(x)=f'(u)*g'(x)=3(3x+2)^2*3=9(3x+2)^2
2、求f(x)=√[(x-4)^2+25]的導數
設u=g(x)=x-4,a=p(u)=u^2+25
f(a)=√a
f'(a)=1/(2√a)=1/{2√[(x-4)^2+25]}
p'(u)=2u=2(x-4)
g'(x)=1
f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x)=2(x-4)/{2√[(x-4)^2+25]}=(x-4)/√[(x-4)^2+25]