正弦:數學術語-中文百科頻道

研究曆史

古代說的“勾三股四弦五”中的“弦”，就是直角三角形中的斜邊，“勾”、“股”是直角三角形的兩條直角邊。

正弦是股與弦的比例，餘弦是餘下的那條直角邊與弦的比例。

正弦=股長/弦長

勾股弦放到圓裡。弦是圓周上兩點連線。最大的弦是直徑。把直角三角形的弦放在直徑上，股就是∠A所對的弦，即正弦，勾就是餘下的弦——餘弦。

按現代說法，正弦是直角三角形的對邊與斜邊之比。

現代正弦公式是

sin=直角三角形的對邊比斜邊.

如圖，斜邊為r，對邊為y，鄰邊為a。斜邊r與鄰邊a夾角Ar的正弦sinA=y/r

無論a，y，r為何值，正弦值恒大于0小于1，即0

三角函數

三角函數是數學中屬于初等函數中的超越函數的一類函數。它們的本質是任意角的集合與一個比值的集合的變量之間的映射。通常的三角函數是在平面直角坐标系中定義的，其定義域為整個實數域。另一種定義是在直角三角形中，但并不完全。現代數學把它們描述成無窮數列的極限和微分方程的解，将其定義擴展到複數系。

由于三角函數的周期性，它并不具有單值函數意義上的反函數。

三角函數在複數中有較為重要的應用。在物理學中，三角函數也是常用的工具。

在RT△ABC中，如果銳角A确定，那麼角A的對邊與鄰邊的比便随之确定，這個比叫做角A的正切，記作tanA

即tanA=角A的對邊/角A的鄰邊

同樣，在RT△ABC中，如果銳角A确定，那麼角A的對邊與斜邊的比便随之确定，這個比叫做角A的正弦，記作sinA

即sinA=角A的對邊/角A的斜邊

同樣，在RT△ABC中，如果銳角A确定，那麼角A的鄰邊與斜邊的比便随之确定，這個比叫做角A的餘弦，記作cosA

即cosA=角A的鄰邊/角A的斜邊

正弦函數

一般的，在直角坐标系中，給定單位圓，對任意角α，使角α的頂點與原點重合，始邊與x軸非負半軸重合，終邊與單位圓交于點P（u，v），那麼點P的縱坐标v叫做角α的正弦函數，記作v=sinα。通常，我們用x表示自變量，即x表示角的大小，用y表示函數值，這樣我們就定義了任意角的三角函數y=sinx，它的定義域為全體實數，值域為[-1,1]。

相關公式

平方和關系

（sinα）^2+（cosα）^2=1

積的關系

sinα=tanα×cosα（即sinα/cosα=tanα）

cosα=cotα×sinα（即cosα/sinα=cotα）

tanα=sinα×secα(即tanα/sinα=secα)

倒數關系

tanα×cotα=1

sinα×cscα=1

cosα×secα=1

商的關系

sinα/cosα=tanα=secα/cscα

和角公式

sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ

cos(α±β)=cosαcosβ∓sinβsinα

tan(α±β)=(tanα±tanβ)/(1∓tanαtanβ)

倍角公式，半角公式

sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cosα)

sin(3α)=3sinα-4sin³(α)=4sinα·sin(60+α)sin(60-α)

sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)

由泰勒級數得出

sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)

級數展開

sinx=x-x3/3!+x5/5!-...(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+...(-∞

導數

（sinx）'=cosx

（cosx)'=﹣sinx

單位圓

圖像中給出了用弧度度量的某個公共角。逆時針方向的度量是正角而順時針的度量是負角。設一個過原點的線，同x軸正半部分得到一個角θ，并與單位圓相交。這個交點的y坐标等于sinθ。在這個圖形中的三角形确保了這個公式；半徑等于斜邊并有長度1，所以有了sinθ=y/1。單位圓可以被認為是通過改變鄰邊和對邊的長度并保持斜邊等于1查看無限數目的三角形的一種方式。

對于大于2π或小于−2π的角度，簡單的繼續繞單位圓旋轉。在這種方式下，正弦變成了周期為2π的周期函數:

對于任何角度θ和任何整數k。