來源
“小九九”的由來
《九九乘法歌訣》，又常稱為“小九九”。現在學生學的“小九九”口訣，是從“一一得一”開始，到“九九八十一”止，而在古代，卻是倒過來，從“九九八十一”起，到“二二得四”止。因為口訣開頭兩個字是“九九”，所以，人們就把它簡稱為“九九”。大約到13、14世紀的時候才倒過來像現在這樣“一一得一……九九八十一”。
中國使用“九九口訣”的時間較早。在《荀子》、《管子》、《淮南子》、《戰國策》等書中就能找到“三九二十七”、“六八四十八”、“四八三十二”、“六六三十六”等句子。
名稱
“×”是乘号，乘号前面和後面的數叫做因數，“=”是等于号，等于号後面的數叫做積。
10（因數）×（乘号）200（因數）=（等于号）2000（積）
因數也叫乘數。
讀法
3×5=15
讀作：三乘五等于十五
注意：現行課本中，隻說“乘”不說“乘以”。要注意和除法中“除”和“除以”區分。
意義
3×5表示5個3相加。
5x3表示3個5相加。
注意：在如上乘法表示什麼中，常把乘号後面的因數做為乘号前因數的倍數。
另：乘法的新意義：乘法不是加法的簡單記法
Ⅰ乘法原理：如果因變量f與自變量x1,x2,x3,….xn之間存在直接正比關系并且每個自變量存在質的不同，缺少任何一個自變量因變量f就失去其意義，則為乘法。
用n維空間描述就是，f為自變量為n個相互正交坐标軸上的自原點至xi之間的線段與點(x1,x2,x3,….xn)和這n個線段垂線圍成的空間體積。
Ⅱ加法原理：如果因變量f與自變量(z1,z2,z3…,zn)之間存在直接正比關系并且每個自變量存在相同的質，缺少任何一個自變量因變量f仍然有其意義，則為加法。
用n維空間描述就是，自變量為同一坐标軸上的n個自原點至zi之間的線段，f為這n個線段首尾連接的總長度。
以上所說的質是按照自變量的作用來劃分的。
此原理是邏輯乘法和邏輯加法的定量表述。
法則
兩數相乘，同号得正，異号得負，并把絕對值相乘。
定律
整數的乘法運算滿足：交換律，結合律，分配律，消去律。
随着數學的發展，運算的對象從整數發展為更一般群。
群中的乘法運算不再要求滿足交換律。最有名的非交換例子，就是哈密爾頓發現的四元數群。但是結合律仍然滿足。
1°乘法交換律：ab=ba，注：字母與字母相乘，乘号不用寫，或者可以寫成·。
2°乘法結合律：（ab）c=a(bc)，
3°乘法分配律：(a+b)c=ac+bc。
說法
在群上再裝備另一種乘法，則發展成為“環”，兩種乘法中的一種可以視為傳統意義上的加法，因此要求滿足分配律和交換律；但是另一種“乘法”卻不要求交換律。
在環裡面，我們不再要求消去律成立。如果這個環有消去律，就叫做整環。
但是對于環來說，不一定有“除法”的概念。如果環有除法的話，就叫做“域”。
域是最接近我們平時所說的有理數集合的東西。但是它包含了更多信息。
結合律
前面講的這些代數對象的乘法都滿足結合律。實際上數學發展到後來，産生了一些不滿足結合律的乘法。
最經典的就是所謂的李(Lie)括号
巧算
乘法是數學中基本運算之一。假設a乘b等于c，即記為ab=c或a·b=c。
中國古代利用算籌進行乘法計算。籌算乘法分三層：上位是被乘數，中位是積，下位是乘數。先由乘數的最大一位去乘被乘數，乘完後去掉這位的算籌，再用第二位數去乘，兩次之積對應位上的數相加，乘完為止。例如81×81，先把乘數和被乘數分别放在上位和下位，如圖﹝a﹞。用80去乘81得6480，「8」用完了，便掉去，如圖﹝b﹞。再用1去乘81得81加到6480上，即等于6561，「1」亦用完了，便掉去，得圖﹝c﹞。
﹝a﹞﹝b﹞﹝c﹞
計算的層次就是把多位數變為用單位數去乘多位數，乘一位加一位，基本原理與現在通用的筆算乘法完全一樣，隻是使用乘數的次序與現在作法相反。
中世紀，印度流行幾種實用而且有趣的乘法。「十字相乘法」是其中一種，印度人稱之為閃電似的乘法。例如325×478=155350
1494年意大利數學家巴切利﹝1445-1514﹞介紹了八種乘法。第一種乘法與現在通用的筆算乘法完全一緻，第六種就是方格乘法。此法約于十五世紀傳入中國，因其圖形有如織錦，故亦稱為鋪地錦。
若仔細分析上表，﹝甚至可比較「十字相乘法」之算法﹞，則可體會到這些乘法的巧妙之處。
這當中利用了乘法的巧算，比如：12×15=12×10+5×10+2×5
現在人們一般把那些有心計、會算計、善謀劃的人形容為心裡有“小九九”。
