定义
设有幺元的复巴拿赫代数,a为的元,a的谱为。则a的谱半径为
正规元谱半径
若x为含幺C*代数的正规元,则x的范数等于其谱半径。
方阵的谱半径
若是复数域上的n阶方阵,又是A的全部特征值,则
称为A的谱半径。
谱半径的估计
在讨论矩阵的范数时,我们知道,矩阵A的每一个特征值的模(绝对值),都不超过矩阵A(在任意一种矩阵范数定义下)的范数即。
由此即得:
定理1
复数域上的任一n阶方阵的谱半径都不超过A的范数即
这里是任一方阵范数。
若取方阵范数为,或,则有下面的推论:
推论
(1)
(2)
(3)
这里为矩阵的最大特征值。
当是正规矩阵时,则有下述定理。
定理2
若A为n阶正规矩阵,则
证明 因A是正规矩阵,故存在酉矩阵P,使得
由此可得
从而
又显然有
这里是中的某一值,因此有
而
所以证毕。
由于对角形矩阵、实对称矩阵、实反对称矩阵、正交矩阵、酉矩阵、厄米特矩阵、反厄米特矩阵都是正规矩阵,所以对于它们都具有性质。
定理3
对任意,存在上的某种矩阵范数,使得对任意恒有
注意:这里的矩阵范数与矩阵A无关。