简介
在数学上，递推关系（recurrence relation），也就是差分方程（difference equation），是一种递推地定义一个序列的方程式：序列的每一项目是定义为前一项的函数。某些简单定义的递推关系式可能会表现出非常复杂的（混沌的）性质，他们属于数学中的非线性分析领域。所谓解一个递推关系式，也就是求其解析解，即关于n的非递归函数。
意义性质
意义
差分方程是微分方程的离散化。一个微分方程不一定可以解出精确的解，把它变成差分方程，就可以求出近似的解来。
比如 dy+y*dx=0,y(0)=1 是一个微分方程， x取值[0,1](注：解为y(x)=e^(-x));要实现微分方程的离散化，可以把x的区间分割为许多小区间 [0,1/n],[1/n,2/n],...[(n-1)/n,1]这样上述微分方程可以离散化为：y((k+1)/n)-y(k/n)+y(k/n)*(1/n)=0， k=0,1,2,...,n-1 （n 个离散方程组）利用y(0)=1的条件，以及上面的差分方程，就可以计算出 y(k/n) 的近似值了。
性质
性质1 Δk(xn+yn)=Δkxn+Δkyn
性质2 Δk(cxn)=cΔkxn
性质3 Δkxn=∑（-1)jCjkXn+k-j
性质4 数列的通项为n的无限次可导函数，对任意k>=1，存在η，有 Δkxn=f(k）（η）
基本概念
一、差分的概念
设函数yt=f(t)在t=…，-2，-1，0，1，2，…处有定义,对应的函数值为…，y-2，y-1，y0，y1，y2，…，则函数yt=f(t)在时间t的一阶差分定义为 Dyt=yt+1-yt=f(t+1)-f(t)。
依此定义类推，有 Dyt+1=yt+2-yt+1=f(t+2)-f(t+1)，Dyt+2=yt+3-yt+2=f(t+3)-f(t+2)，………………
一阶差分的性质
(1) 若yt=C(C为常数)，则Dyt=0；
(2) 对于任意常数k，D(KYT)=kDyt；
(3) D(yt+zt)=Dyt+Dzt。
函数yt=f(t)在时刻t的二阶差分定义为一阶差分的差分，即
D2yt= D (D yt)= D yt+1- D yt
=(yt+2-yt+1)-(yt+1-yt)=yt+2-2yt+1+yt．
依此定义类推，有
D2yt+1= Dyt+2- Dyt+1=yt+3-2yt+2+yt+1，D2yt+2= Dyt+3- Dyt+2=yt+4-2yt+3+yt+2，………………
类推，计算两个相继的二阶差分之差，便得到三阶差分
D3yt= D2yt+1- D2yt=yt+3-3yt+2+3yt+1-yt，
D3yt+1= D2yt+2- D2yt+1=yt+4-3yt+3+3yt+2-yt+1， ………………
二、 差分方程
含有未知函数yt=f(t)以及yt的差分Dyt， D2yt，…的函数方程，称为(简称)；出现在差分方程中的差分的最高阶数，称为。n阶差分方程的一般形式为F(t，yt，Dyt，…， Dnyt)=0，其中F是t，yt, Dyt，…， Dnyt的已知函数，且Dnyt一定要在方程中出现。
含有两个或两个以上函数值yt，yt+1，…的函数方程，称为，出现在差分方程中未知函数下标的最大差，称为。n阶差分方程的一般形式为F(t，yt，yt+1，…，yt+n)=0,其中F为t，yt，yt+1，…，yt+n的已知函数，且yt和yt+n一定要在差分方程中出现。
经济学中的应用
一、 存款模型
设St为t期存款总额，i为存款利率，则St与i有如下关系式：
St+1=St+iSt=(1+i)Si， t=0，1，2，…，
其中S0为初始存款总额。
二、 动态供需均衡模型(蛛网定理)
设Dt表示t期的需求量，St表示t期的供给量，Pt表示商品t期价格，则传统的动态供需均衡模型为：
其中a，b，a1 ，b1均为已知常数。
(1)式表示t期(现期)需求依赖于同期价格；
(2)式表示t期(现期)供给依赖于(t-1)期(前期)价格。
(3)式为供需均衡条件。
若在供需平衡的条件下，而且价格保持不变，即 Pt=Pt-1=Pe，静态均衡价格需求曲线与供给曲线的交点(Pe ，Qe)即为该种商品的静态均衡点。
若初始价格P0已知时,将其代入通解，可求得任意常数A=P0-Pe ，此时，通解改写为
如果初始价格P0=Pe ，那么Pt=Pe ，这表明没有外部干扰发生，价格将固定在常数值Pe上，即静态均衡。如果初始价格P0≠Pe，那么价格Pt将随t的变化而变化。
三、 凯恩斯(Keynes.J.M)乘数动力学模型
设Yt表示t期国民收入，Ct为t期消费，It为t期投资，DI0为自发(固定)投资，I为周期固定投资增量。凯恩斯国民经济收支动态均衡模型为：
(1)式为均衡条件，即国民收入等于同期消费与同期投资之和；(2)式为消费函数，即现期消费水平依赖于前期国民收入(消费滞后于收入一个周期)，a(≥0)为基本消费水平，b为边际消费倾向(0＜b＜1)；(3)式为投资函数，这里仅考虑为固定投资。在凯恩斯主义者眼里，“资本”也是一个同质的总量概念，即只有一个“总资本”，他们无法理解，资本是迂回的生产链条，有复杂的时间结构。
四、 哈罗德(Harrod.R.H)经济增长模型
哈罗德—多马模型（Harrod-DomarModel，H-D）是对凯恩斯S=I模型早期的动态化发展，提出在假定资本产出比不变的情况下，均衡经济增长率取决于储蓄率，即储蓄倾向。设St为t期储蓄，Yt为t期国民收入，It为t期投资，s称为边际储蓄倾向(即平均储蓄倾向)，0＜s＜1，k为加速系数。哈罗德宏观经济增长模型为：
其中s，k为已知常数。(1)式表示t期储蓄依赖于前期的国民收入；(2)式表示t期投资为前两期国民收入差的加速，且预期资本加速系数k为常数；(3)式均衡条件。
