雅可比矩陣

定義

它們全部都以數學家雅可比命名；英文雅可比量"Jacobian"可以發音為[ja ˈko bi ən]或者[ʤə ˈko bi ən]。

雅可比矩陣的重要性在于它體現了一個可微方程與給出點的最優線性逼近。因此，雅可比矩陣類似于多元函數的導數。

雅可比矩陣定義為向量對向量的微分矩陣，定義式如下：

MAtLAB

MATLAB中jacobian是用來計算Jacobi矩陣的函數。

syms r l f

x=r*cos(l)*cos(f);

y=r*cos(l)*sin(f);

z=r*sin(l);

J=jacobian([x;y;z],[r l f])

結果：

J =

[ cos(l)*cos(f), -r*sin(l)*cos(f), -r*cos(l)*sin(f)]

[ cos(l)*sin(f), -r*sin(l)*sin(f), r*cos(l)*cos(f)]

[ sin(l), r*cos(l), 0 ]

面積元

關于這個的一般性證明稍微複雜點，現在就給你證明為什麼二維的dx(u,v)dy(u,v)=Jdudv成立

證明：對于曲面x=x(u,v),y=y(u,v),取它的微元，即小曲邊四邊形ABCD，其中

A(u,v),B(u+△u,v),C(u+△u,v+△v),D(u,v+△v),那麼這個曲邊四邊形ABCD可以近似看成是微小向量B(u+△u,v)-A(u,v)和D(u,v+△v)-A(u,v)張成的。利用中值定理可知：

(u+△u,v)-(u,v)=Mdu

(u,v+△v)-(u,v)=Ndv

這裡的M，N是偏導數的形式，不好打出，你可以自己算出來，很簡單的。

當變化量很小時，我們把(u+△u,v)-(u,v)近似看成dx(u,v)，(u,v+△v)-(u,v)看成dy(u,v)，所以，

dx(u,v)dy(u,v)=M*Ndudv

而其中的M*N剛好就是二維Jacobi行列式的展開形式。

由此問題得證。