基礎定義
一般地，對于函數f(x)：
⑴如果對于函數f(x)定義域内的任意一個x，都有f（x）=f（-x）或f（x）/f（-x）=1那麼函數f（x）就叫做偶函數。關于y軸對稱，f（-x）=f（x）。
⑵如果對于函數f(x)定義域内的任意一個x，都有f（-x）=-f（x）或f（x）/f（-x）=-1，那麼函數f（x）就叫做奇函數。關于原點對稱，-f（x）=f（-x）。
⑶如果對于函數定義域内的任意一個x，都有f（x）=f（-x）和f（-x）=-f（x），（x∈R，且R關于原點對稱.）那麼函數f（x）既是奇函數又是偶函數，稱為既奇又偶函數。
⑷如果對于函數定義域内的存在一個a，使得f（a）≠f（-a），存在一個b，使得f（-b）≠-f（b），那麼函數f（x）既不是奇函數又不是偶函數，稱為非奇非偶函數。
定義域互為相反數，定義域必須關于原點對稱
特殊的，f（x）=0既是奇函數，又是偶函數。
說明：
①奇、偶性是函數的整體性質，對整個定義域而言。
②奇、偶函數的定義域一定關于原點對稱，如果一個函數的定義域不關于原點對稱，則這個函數一定不具有奇偶性。
（分析：判斷函數的奇偶性，首先是檢驗其定義域是否關于原點對稱，然後再嚴格按照奇、偶性的定義經過化簡、整理、再與f（x）比較得出結論）
③判斷或證明函數是否具有奇偶性的根據是定義。
④如果一個奇函數f(x）在x=0處有意義，則這個函數在x=0處的函數值一定為0。并且關于原點對稱。
⑤如果函數定義域不關于原點對稱或不符合奇函數、偶函數的條件則叫做非奇非偶函數。例如f（x）=x³【-∞，-2】或【0，+∞】（定義域不關于原點對稱）
⑥如果函數既符合奇函數又符合偶函數，則叫做既奇又偶函數。例如f（x）=0。
注：任意常函數（定義域關于原點對稱）均為偶函數，隻有f（x）=0是既奇又偶函數。
特征
偶函數：若對于定義域内的任意一個x，都有f（-x）=f（x），那麼f（x）稱為偶函數。
奇函數：若對于定義域内的任意一個x，都有f（-x）=-f（x），那麼f（x）稱為奇函數。
定理奇函數的圖像關于原點成中心對稱圖表，偶函數的圖象關于y軸成軸對稱圖形。
奇函數在某一區間上單調遞增，則在它的對稱區間上也是單調遞增。
偶函數在某一區間上單調遞增，則在它的對稱區間上單調遞減。
證明方法
1、利用奇偶函數的定義來判斷（這是最基本，最常用的方法）定義：如果對于函數y=f（x）的定義域A内的任意一個值x，都有f（-x）=-f（x）則這個函數叫做奇函數f（-x）=f（x），則這個函數叫做偶函數。n2、用求和（差）法判斷：n若f（x）-f（-x）=2f（x），則f（x）為奇函數。n若f（x）+f（-x）=2f（x），則f（x）為偶函數。n3、用求商法判斷n若f（-x）/f（x）=-1,（f（x）≠0）則f（x）為奇函數。n若f（-x）/f（x）=1,（f（x）≠0）則f（x）為偶函數。
性質
1、大部分偶函數沒有反函數（因為大部分偶函數在整個定義域内非單調函數）。
2、偶函數在定義域内關于y軸對稱的兩個區間上單調性相反，奇函數在定義域内關于原點對稱的兩個區間上單調性相同。
3、對于F（x）=[g（x）]：
若g（x）是偶函數且f（x）是偶函數，則F[x]是偶函數。
若g（x）是偶函數且f（x）是奇函數，則F[x]是偶函數。
若g（x）是奇函數且f（x）是奇函數，則F[x]是奇函數。
若g（x）是奇函數且f（x）是偶函數，則F[x]是偶函數。
4、奇函數與偶函數的定義域必須關于原點對稱。
常用結論
（1）奇函數在對稱的單調區間内有相同的單調性；
偶函數在對稱的單調區間内有相反的單調性。
（2）若f（x-a）為奇函數，則f（x）的圖像關于點（-a，0）對稱；
若f（x-a）為偶函數，則f（x）的圖像關于直線x=-a對稱。
（3）在f（x），g（x）的公共定義域上：
奇函數±奇函數=奇函數
偶函數±偶函數=偶函數
奇函數×奇函數=偶函數
偶函數×偶函數=偶函數
奇函數×偶函數=奇函數
上述奇偶函數乘法規律可總結為：同偶異奇。
