定理定義
如果函數在閉區間上連續,在上不變号,并且在閉區間上是可積的,則在上至少存在一個點,使下式成立:
定理證明
由于在上不變号,不妨設。并且由在上的連續性可知,在上存在最大值和最小值,使得,将不等式兩邊同時乘以,得到:
,
,對上式在上取積分得
若,上式等号成立,,定理顯然成立。
若,不等式兩邊同除以,有
由介值定理,存在ε∈[a,b],使得,即。定理得證。
應用實例
求極限。
解:取為,,,則,,并有
由于有界,因此
即原式的極限為0。
如果函數在閉區間上連續,在上不變号,并且在閉區間上是可積的,則在上至少存在一個點,使下式成立:
由于在上不變号,不妨設。并且由在上的連續性可知,在上存在最大值和最小值,使得,将不等式兩邊同時乘以,得到:
,
,對上式在上取積分得
若,上式等号成立,,定理顯然成立。
若,不等式兩邊同除以,有
由介值定理,存在ε∈[a,b],使得,即。定理得證。
求極限。
解:取為,,,則,,并有
由于有界,因此
即原式的極限為0。