概述
其是数学的一个分支，主要处理线性关系问题。线性关系意即数学对象之间的关系是以一次形式来表达的。例如，在解析几何里，平面上直线的方程是二元一次方程；空间平面的方程是三元一次方程，而空间直线视为两个平面相交，由两个三元一次方程所组成的方程组来表示。含有n个未知量的一次方程称为线性方程。关于变量是一次的函数称为线性函数。线性关系问题简称线性问题。解线性方程组的问题是最简单的线性问题。
历史
其作为一个独立的分支在20世纪才形成，然而它的历史却非常久远。“鸡兔同笼”问题实际上就是一个简单的线性方程组求解的问题。最古老的线性问题是线性方程组的解法，在中国古代的数学著作《九章算术·方程》章中，已经作了比较完整的叙述，其中所述方法实质上相当于现代的对方程组的增广矩阵的行施行初等变换，消去未知量的方法。
由于费马和笛卡儿的工作，现代意义的线性代数基本上出现于十七世纪。直到十八世纪末，线性代数的领域还只限于平面与空间。十九世纪上半叶才完成了到n维线性空间的过渡。
随着研究线性方程组和变量的线性变换问题的深入，行列式和矩阵在18～19世纪期间先后产生，为处理线性问题提供了有力的工具，从而推动了线性代数的发展。向量概念的引入，形成了向量空间的概念。凡是线性问题都可以用向量空间的观点加以讨论。因此，向量空间及其线性变换，以及与此相联系的矩阵理论，构成了线性代数的中心内容。
矩阵论始于凯莱，在十九世纪下半叶，因若当的工作而达到了它的顶点。1888年，皮亚诺以公理的方式定义了有限维或无限维线性空间。托普利茨将线性代数的主要定理推广到任意体（domain）上的最一般的向量空间中。线性映射的概念在大多数情况下能够摆脱矩阵计算而不依赖于基的选择。不用交换体而用未必交换之体或环作为算子之定义域，这就引向模（module）的概念，这一概念很显著地推广了线性空间的理论和重新整理了十九世纪所研究过的情况。
“代数”这个词在中文中出现较晚，在清代时才传入中国，当时被人们译成“阿尔热巴拉”，直到1859年，清代著名的数学家、翻译家李善兰才将它翻译成为“代数学”，之后一直沿用。
学科概述
线性代数是学生进入大学后修读的第一门抽象的数学课程，针对其具有较强的抽象性、逻辑性与广泛的实用性这一特点，本课程的教学目标是：通过本课程的学习，使学生掌握线性代数该课程的基本理论与方法，提高学生的抽象思维能力、逻辑推理能力和数学运算能力，培养学生在科技活动和社会实践教学活动中应用数学知识解决问题的能力，为进一步学习后续课程奠定必要的数学基础。
学术地位
线性代数在数学、物理学和技术学科中有各种重要应用，因而它在各种代数分支中占居首要地位。在计算机广泛应用的今天，计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分。线性代数所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对于强化人们的数学训练，增益科学智能是非常有用的。随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展，线性化了的问题又可以计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具。
在计算机广泛应用的今天，计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分。
“以直代曲”是人们处理很多数学问题时一个很自然的思想。很多实际问题的处理，最后往往归结为线性问题，它比较容易处理。因此，线性代数在工程技术和国民经济的许多领域都有着广泛的应用，是一门基本的和重要的学科。线性代数的计算方法是计算数学里一个很重要的内容。
基本介绍
线性（linear）指量与量之间按比例、成直线的关系，在数学上可以理解为一阶导数为常数的函数
非线性（non-linear）则指不按比例、不成直线的关系，一阶导数不为常数。
线性代数起源于对二维和三维直角坐标系的研究。在这里，一个向量是一个有方向的线段，由长度和方向同时表示。这样向量可以用来表示物理量，比如力，也可以和标量做加法和乘法。这就是实数向量空间的第一个例子。
作为证明定理而使用的纯抽象概念，向量空间（线性空间）属于抽象代数的一部分，而且已经非常好地融入了这个领域。一些显著的例子有：不可逆线性映射或矩阵的群，向量空间的线性映射的环。线性代数也在数学分析中扮演重要角色，特别在向量分析中描述高阶导数，研究张量积和可交换映射等领域。
向量空间是在域上定义的，比如实数域或复数域。线性算子将线性空间的元素映射到另一个线性空间（也可以是同一个线性空间），保持向量空间上加法和标量乘法的一致性。所有这种变换组成的集合本身也是一个向量空间。如果一个线性空间的基是确定的，所有线性变换都可以表示为一个数表，称为矩阵。对矩阵性质和矩阵算法的深入研究（包括行列式和特征向量）也被认为是线性代数的一部分。
我们可以简单地说数学中的线性问题——-那些表现出线性的问题——是最容易被解决的。比如微分学研究很多函数线性近似的问题。在实践中与非线性问题的差异是很重要的。
线性代数方法是指使用线性观点看待问题，并用线性代数的语言描述它、解决它（必要时可使用矩阵运算）的方法。这是数学与工程学中最主要的应用之一。
重要定理
每一个线性空间都有一个基。
矩阵非奇异（可逆）当且仅当它的行列式不为零。
矩阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。
矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于或等于零。
矩阵正定当且仅当它的每个特征值都大于零。
解线性方程组的克拉默法则。
判断线性方程组有无非零实根的增广矩阵和系数矩阵的关系。
其他数学分支
线性代数是一个成功的理论，其方法已经被应用于数学的其他分支，模论就是将线性代数中的标量的域用环替代进行研究。
多线性代数将映射的“多变量”问题线性化为每个不同变量的问题，从而产生了张量的概念。在算子的光谱理论中，通过使用数学分析，可以控制无限维矩阵，所有这些领域都有非常大的技术难点。
