定义
ARMA模型(autoregressivemovingaveragemodel)自回归滑动平均模型,模型参量法高分辨率谱分析方法之一。这种方法是研究平稳随机过程有理谱的典型方法,适用于很大一类实际问题。它比AR模型法与MA模型法有较精确的谱估计及较优良的谱分辨率性能,但其参数估算比较繁琐。
ARMA模型参数估计的方法很多:
如果模型的输入序列{u(n)}与输出序列{a(n)}均能被测量时,则可以用最小二乘法估计其模型参数,这种估计是线性估计,模型参数能以足够的精度估计出来;
许多谱估计中,仅能得到模型的输出序列{x(n)},这时,参数估计是非线性的,难以求得ARMA模型参数的准确估值。从理论上推出了一些ARMA模型参数的最佳估计方法,但它们存在计算量大和不能保证收敛的缺点。因此工程上提出次最佳方法,即分别估计AR和MA参数,而不像最佳参数估计中那样同时估计AR和MA参数,从而使计算量大大减少。
基本原理
将预测指标随时间推移而形成的数据序列看作是一个随机序列,这组随机变量所具有的依存关系体现着原始数据在时间上的延续性。一方面,影响因素的影响,另一方面,又有自身变动规律,假定影响因素为x1,x2,…,xk,由回归分析,
其中Y是预测对象的观测值,Z为误差。作为预测对象Yt受到自身变化的影响,其规律可由下式体现,
误差项在不同时期具有依存关系,由下式表示,
由此,获得ARMA模型表达式:
基本形式
ARMA模型分为以下三种:
自回归模型(AR:Auto-regressive)
如果时间序列满足
其中是独立同分布的随机变量序列,且满足:
以及,则称时间序列为服从p阶的自回归模型。
自回归模型的平稳条件:
滞后算子多项式
的根均在单位圆外,即φ(B) = 0的根大于1。
移动平均模型(MA:Moving-Average)
如果时间序列满足
则称时间序列为服从q阶移动平均模型;移动平均模型平稳条件:任何条件下都平稳。
自回归滑动平均模型(ARMA)
如果时间序列满足:
则称时间序列为服从(p,q)阶自回归滑动平均混合模型。或者记为。
AR模型
AR模型自回归模型,模型参量法高分辨率谱分析方法之一,也是现代谱估计中常用的模型。
用AR模型法求信具体作法是:
①选择AR模型,在输入是冲激函数或白噪声的情况下,使其输出等于所研究的信号,至少,应是对该信号的一个好的近似。
②利用已知的自相关函数或数据求模型的参数。
③利用求出的模型参数估计该信号的功率谱。
MA模型
MA模型滑动平均模型,模型参量法谱分析方法之一,也是现代谱估中常用的模型。
用MA模型法求信号谱估计的具体作法是:①选择MA模型,在输入是冲激函数或白噪声情况下,使其输出等于所研究的信号,至少应是对该信号一个好的近似。②利用已知的自相关函数或数据求MA模型的参数。③利用求出的模型参数估计该信号的功率谱。
在ARMA参数谱估计中,大多数估计ARMA参数的两步方法都首先估计AR参数,然后在这些AR参数基础上,再估计MA参数,然后可求出ARMA参数的谱估计。所以MA模型参数估计常作为ARMA参数谱估计的过程来计算。
应用
综上所述可以看出,AR模型和MA模型均为ARMA模型的特殊形式,三者皆可以用于处理分离正弦信号频率,多应用于机械零件比如齿轮、轴承故障诊断和分析。
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