無理數e:自然常數-中文百科頻道

定義

e是自然對數的底數，是一個無限不循環小數，其值是2.71828……，是這樣定義的：

當n->∞時，(1+1/n)^n的極限。

注：x^y表示x的y次方。

随着n的增大，底數越來越接近1，而指數趨向無窮大，那結果到底是趨向于1還是無窮大呢？其實，是趨向于2.71828……，不信你用計算器計算一下，分别取n=1,10,100,1000。但是由于一般計算器隻能顯示10位左右的數字，所以再多就看不出來了。

e在科學技術中用得非常多，一般不使用以10為底數的對數。以e為底數，許多式子都能得到簡化，用它是最“自然”的，所以叫“自然對數”。

這裡的e是一個數的代表符号，而我們要說的，便是e的故事。這倒叫人有點好奇了，要能說成一本書，這個數應該大有來頭才是，至少應該很有名吧？但是搜索枯腸，大部分人能想到的重要數字，除了衆人皆知的0及1外，大概就隻有和圓有關的π了，了不起再加上虛數單位的i=√-1。這個e究竟是何方神聖呢？

在高中數學裡，大家都學到過對數（logarithm）的觀念，也用過對數表。教科書裡的對數表，是以10為底的，叫做常用對數（common logarithm）。課本裡還簡略提到，有一種以無理數e=2.71828……為底數的對數，稱為自然對數（natural logarithm），這個e，正是我們故事的主角。不知這樣子說，是否引起你更大的疑惑呢？在十進位制系統裡，用這樣奇怪的數為底，難道會比以10為底更「自然」嗎？更令人好奇的是，長得這麼奇怪的數，會有什麼故事可說呢？

e的範圍

e的應用

這個與計算複利關系密切的數，和數學領域不同分支中的許多問題都有關聯。在讨論e的源起時，除了複利計算以外，事實上還有許多其他的可能。問題雖然都不一樣，答案卻都殊途同歸地指向e這個數。比如其中一個有名的問題，就是求雙曲線y=1/x底下的面積。

雙曲線和計算複利會有什麼關系，不管橫看、豎看、坐著想、躺著想，都想不出一個所以然對不對？可是這個面積算出來，卻和e有很密切的關聯。我才舉了一個例子而已，這本書裡提到得更多。e的影響力其實還不限于數學領域。大自然中太陽花的種子排列、鹦鹉螺殼上的花紋都呈現螺線的形狀，而螺線的方程式，是要用e來定義的。建構音階也要用到e，而如果把一條鍊子兩端固定，松松垂下，它呈現的形狀若用數學式子表示的話，也需要用到e。

數學名人

對數表的發明者

你知道第一個對數表是誰發明的嗎？是納皮爾（John Napier）。沒有聽說過？這很正常，我也是讀到書才認識他的。重要的是要下一個問題。你知道納皮爾花了多少時間來建構整個對數表嗎？請注意這是發生在十六世紀末、十七世紀初的事情，别說電腦和計算機了，根本是什麼計算工具也沒有，所有的計算，隻能利用紙筆一項一項慢慢地算，而又還不能利用對數來化乘除為加減，好簡化計算。因此納皮爾整整花了二十年的時間建立他的對數表，簡直是匪夷所思吧！試著想像一下二十年之間，每天都在重複做同類型的繁瑣計算，這種乏味的日子絕不是一般人能忍受的。但納皮爾熬過來了。

對數受到的贊譽

對數發明後，受到了熱切的歡迎，許多歐洲甚至中國的科學家都迅速采用，連納皮爾也得到了來自世界各地的贊譽。最早使用對數的人當中，包括了大名鼎鼎的天文學家開普勒，他利用對數，簡化了行星軌道的繁複計算。

微積分教科書

在《毛起來說e》中，還有許多我們在一般數學課本裡讀不到的有趣事實。比如第一本微積分教科書是誰寫的呢？（假如你曾受微積分課程之苦，也會想知道誰是「始作俑者」吧？」）是羅必達先生。對啦，就是羅必達法則（L'Hospital's Rule）的那位羅必達。但是羅必達法則反倒是約翰．伯努利先發現的。不過這無關乎剽竊的問題，他們之間是有協議的。

伯努利家族

說到伯努利可就有故事說了，這個家族實在不得了，别的家族出一位天才就可以偷笑了，而他們家族的天才是用「量産」形容。伯努利們前前後後在數學領域中活躍了一百年，他們的諸多成就（不僅止于數學領域），就算随便列一列，也有一本書這麼厚。不過這個家族另外擅長的一件事就不太敢恭維了，那就是吵架。自家人吵不夠，也跟外面的人吵（可說是「表裡如一」）。連爸爸與兒子合得一個大獎，爸爸還非常不滿意，覺得應該由自己獨得，居然氣得把兒子趕出家門；和現代的許多「孝子」們比起來，這位爸爸真該感到慚愧。

我們每個人的成長過程中都讀過不少數學，但是在很多人心目中，數學似乎是門無趣甚至可怕的科目。尤其到了大學的微積分，到處都是定義、定理、公式，令人望之生畏。我們會害怕一個學科的原因之一，是有距離感，那些微積分裡的東西，好像不知是從哪兒冒出來的，對它毫無感覺，也覺得和我毫無關系。如果我們知道微積分是怎麼演變、由誰發明的，而發明之時還發生了些什麼事（微積分是誰發明的這件事，争論了許多年，對數學發展産生重大的影響），發明者又是什麼樣的人等等，這種距離感就應該會減少甚至消失，微積分就不再是「陌生人」了。