概述
樣本中各數據與樣本平均數的差的平方和的平均數叫做樣本方差；樣本方差的算術平方根叫做樣本标準差。樣本方差和樣本标準差都是衡量一個樣本波動大小的量，樣本方差或樣本标準差越大，樣本數據的波動就越大。方差和标準差。方差和标準差是測算離散趨勢最重要、最常用的指标。
方差是各變量值與其均值離差平方的平均數，它是測算數值型數據離散程度的最重要的方法。标準差為方差的平方根，用S表示。标準差相應的計算公式為标準差與方差不同的是，标準差和變量的計算單位相同，比方差清楚，因此很多時候我們分析的時候更多的使用的是标準差。
簡單來說，标準差是一組數據平均值分散程度的一種度量。一個較大的标準差，代表大部分數值和其平均值之間差異較大；一個較小的标準差，代表這些數值較接近平均值。
例如，兩組數的集合{0,5,9,14}和{5,6,8,9}其平均值都是7，但第二個集合具有較小的标準差。
标準差可以當作不确定性的一種測量。例如在物理科學中，做重複性測量時，測量數值集合的标準差代表這些測量的精确度。當要決定測量值是否符合預測值，測量值的标準差占有決定性重要角色：如果測量平均值與預測值相差太遠（同時與标準差數值做比較），則認為測量值與預測值互相矛盾。這很容易理解，因為如果測量值都落在一定數值範圍之外，可以合理推論預測值是否正确。
标準差應用于投資上，可作為量度回報穩定性的指标。标準差數值越大，代表回報遠離過去平均數值，回報較不穩定故風險越高。相反，标準差數值越細，代表回報較為穩定，風險亦較小。
例如，A、B兩組各有6位學生參加同一次語文測驗，A組的分數為95、85、75、65、55、45，B組的分數為73、72、71、69、68、67。這兩組的平均數都是70，但A組的标準差為17.07分，B組的标準差為2.37分（此數據時在R統計軟件中運行獲得），說明A組學生之間的差距要比B組學生之間的差距大得多。
如是總體，标準差公式根号内除以n；
如是樣本，标準差公式根号内除以（n-1)；
因為我們大量接觸的是樣本，所以普遍使用根号内除以（n-1)。
定義
設X是一個随機變量，若E{[X-E(X)]^2}存在，則稱E{[X-E(X)]^2}為X的方差，記為D(X),Var(X)或DX。
即D(X)=E{[X-E(X)]^2}稱為方差，而σ(X)=D(X)^0.5（與X有相同的量綱）稱為标準差（或均方差）。即用來衡量一組數據的離散程度的統計量。
方差刻畫了随機變量的取值對于其數學期望的離散程度。（标準差.方差越大，離散程度越大。否則，反之)
若X的取值比較集中，則方差D(X)較小,
若X的取值比較分散，則方差D(X)較大。
因此，D（X）是刻畫X取值分散程度的一個量，它是衡量X取值分散程度的一個尺度。
所有數減去其平均值的平方和，所得結果除以該組數之個數（或個數減一)，再把所得值開根号，所得之數就是這組數據的标準差。
數據意義
标準差越高,表示實驗數據越離散,也就是說越不精确。
反之,标準差越低,代表實驗的數據越精确。
離散度
标準差是反應一組數據離散程度最常用的一種量化形式，是表示精密确的最要指标。說起标準差首先得搞清楚它出現的目的。我們使用方法去檢測它，但檢測方法總是有誤差的，所以檢測值并不是其真實值。檢測值與真實值之間的差距就是評價檢測方法最有決定性的指标。但是真實值是多少，不得而知。因此怎樣量化檢測方法的準确性就成了難題。這也是臨床工作質控的目的：保證每批實驗結果的準确可靠。
雖然樣本的真實值是不可能知道的，但是每個樣本總是會有一個真實值的，不管它究竟是多少。可以想象，一個好的檢測方法，基檢測值應該很緊密的分散在真實值周圍。如何不緊密，那距真實值的就會大，準确性當然也就不好了，不可能想象離散度大的方法，會測出準确的結果。因此，離散度是評價方法的好壞的最重要也是最基本的指标。
一組數據怎樣去評價和量化它的離散度呢?人們使用了很多種方法：
一、極差：
最直接也是最簡單的方法，即最大值－最小值（也就是極差）來評價一組數據的離散度。這一方法在日常生活中最為常見，比如比賽中去掉最高最低分就是極差的具體應用。
二、離均差的平方和：
由于誤差的不可控性，因此隻由兩個數據來評判一組數據是不科學的。所以人們在要求更高的領域不使用極差來評判。其實，離散度就是數據偏離平均值的程度。因此将數據與均值之差（我們叫它離均差）加起來就能反映出一個準确的離散程度。和越大離散度也就越大。
但是由于偶然誤差是成正态分布的，離均差有正有負，對于大樣本離均差的代數和為零的。為了避免正負問題，在數學有上有兩種方法：一種是取絕對值，也就是常說的離均差絕對值之和。而為了避免符号問題，數學上最常用的是另一種方法－－平方，這樣就都成了非負數。因此，離均差的平方和成了評價離散度一個指标。
三、方差（S2）：
由于離均差的平方和與樣本個數有關，隻能反應相同樣本的離散度，而實際工作中做比較很難做到相同的樣本，因此為了消除樣本個數的影響，增加可比性，将标準差求平均值，這就是我們所說的方差成了評價離散度的較好指标。樣本量越大越能反映真實的情況，而算數均值卻完全忽略了這個問題，對此統計學上早有考慮，在統計學中樣本的均差多是除以自由度（n-1)，它是意思是樣本能自由選擇的程度。當選到隻剩一個時，它不可能再有自由了，所以自由度是n-1。
四、标準差（SD）：
由于方差是數據的平方，與檢測值本身相差太大，人們難以直觀的衡量，所以常用方差開根号換算回來這就是我們要說的标準差。
在統計學中樣本的均差多是除以自由度（n-1)，它是意思是樣本能自由選擇的程度。當選到隻剩一個時，它不可能再有自由了，所以自由度是n-1。
五、變異系數（CV）：
标準差能很客觀準确的反映一組數據的離散程度，但是對于不同的檢目，或同一項目不同的樣本，标準差就缺乏可比性了，因此對于方法學評價來說又引入了變異系數（CV）。
計算
由定義知，方差是随機變量X的函數g(X)=∑[X-E(X)]^2pi，數學期望。如圖：
由方差的定義可以得到以下常用計算公式：
D(X)=∑xi²pi-E(x)²
D(X)=∑（xi²pi+E(X)²pi-2xipiE(X))；
=∑xi²pi+∑E(X)²pi-2E(X)∑xipi；
=∑xi²pi+E(X)²-2E(X)²；
=∑xi²pi-E(x)²
方差其實就是标準差的平方。
方差的性質
1.設c是常數，則
2.設X是随機變量，c是常數，則有
3.設X與Y是兩個随機變量，則
D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)
D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y)
特别的，當X，Y是兩個不相關的随機變量則
D(X+Y)=D(X)+D(Y),D(X-Y)=D(X)+D(Y),
此性質可以推廣到有限多個兩兩不相關的随機變量之和的情況。
4.D(X)=0的充分必要條件是X以概率為1取常數值c，即X=c,a.s.其中E(X)=c。
5.D(aX+bY)=aDX+bDY+2abCov(X,Y)。
随機變量期望和方差求解公式随機變量X。
X服從兩點分布，則E(X)=pD(X)=p(1-p)
X服從泊松分布，即X~π(λ),則E(X)=λ，D(X)=λ
X服從指數分布，即X~e(λ),E(X)=1/λ，D(X)=1/λ
X服從二項分布，即X~B(n,p)，則E(x)=np,D(X)=np(1-p)
X服從正态分布，即X~N(μ，σ),則E(x)=μ，D(X)=σ
X服從标準正态分布，即X~N(0,1),則E(x)=0,D(X)=1
随機變量求方差的通用公式，即D(X)=E(X)-[E(X)]
舉例
如下面的例子：
已知某零件的真實長度為a，現用甲、乙兩台儀器各測量10次，将測量結果X用坐标上的點表示如圖：
甲儀器測量結果：
乙儀器測量結果：全是a
兩台儀器的測量結果的均值都是a。但是用上述結果評價一下兩台儀器的優劣，很明顯，我們會認為乙儀器的性能更好，因為乙儀器的測量結果集中在均值附近。
由此可見，研究随機變量與其均值的偏離程度是十分必要的。那麼,用怎樣的量去度量這個偏離程度呢?容易看到E[|X-E[X]|]能度量随機變量與其均值E(X)的偏離程度。但由于上式帶有絕對值,運算不方便，通常用量E[(X-E[X])]這一數字特征就是方差。
公式
方差是實際值與期望值之差平方的平均值，而标準差是方差算術平方根。
在實際計算中，我們用以下公式計算方差。
方差是各個數據與平均數之差的平方的和的平均數,即，其中，x表示樣本的平均數，n表示樣本的數量，x表示個體，而s^2就表示方差。
而當用作為樣本X的方差的估計時，發現其數學期望并不是X的方差，而是X方差的倍，的數學期望才是X的方差，用它作為X的方差的估計具有“無偏性”，所以我們總是用來估計X的方差，并且把它叫做“樣本方差”。
方差，通俗點講，就是和中心偏離的程度！用來衡量一批數據的波動大小（即這批數據偏離平均數的大小）并把它叫做這組數據的方差。記作S。在樣本容量相同的情況下，方差越大，說明數據的波動越大，越不穩定。
公式可以進一步推到為：其中x為這組數據中的數據，n為大于0的整數。
數據波動
當數據分布比較分散（即數據在平均數附近波動較大）時，各個數據與平均數的差的平方和較大，方差就較大；當數據分布比較集中時，各個數據與平均數的差的平方和較小。因此方差越大，數據的波動越大；方差越小，數據的波動就越小。
樣本中各數據與樣本平均數的差的平方和的平均數叫做樣本方差；樣本方差的算術平方根叫做樣本标準差。樣本方差和樣本标準差都是衡量一個樣本波動大小的量，樣本方差或樣本标準差越大，樣本數據的波動就越大。
方差和标準差是測算離散趨勢最重要、最常用的指标。方差是各變量值與其均值離差平方的平均數，它是測算數值型數據離散程度的最重要的方法。标準差為方差的算術平方根，用S²表示。方差相應的計算公式為标準差與方差不同的是，标準差和變量的計算單位相同，比方差清楚，因此很多時候我們分析的時候更多的使用的是标準差。
标準差
一組數據的平均值及标準差常常同時做為參考的依據。在直覺上，如果數值的中心以平均值來考慮，則标準差為統計分布之一“自然”的測量。
定義公式
标準差公式
1、方差s^2=[(x1-x)^2+(x2-x)^2+......(xn-x)^2]/n
2、标準差=方差的算術平方根
幾何學解釋
從幾何學的角度出發，标準差可以理解為一個從n維空間的一個點到一條直線的距離的函數。舉一個簡單的例子，一組數據中有3個值，X1,X2,X3。它們可以在3維空間中确定一個點P=(X1,X2,X3)。想像一條通過原點的直線。如果這組數據中的3個值都相等，則點P就是直線L上的一個點，P到L的距離為0,所以标準差也為0。
若這3個值不都相等，過點P作垂線PR垂直于L，PR交L于點R，則R的坐标為這3個值的平均數：公式運用一些代數知識，不難發現點P與點R之間的距離(也就是點P到直線L的距離)是。在n維空間中，這個規律同樣适用，把3換成n就可以了。
标準差與标準誤的區别
标準差與标準誤都是心理統計學的内容，兩者不但在字面上比較相近，而且兩者都是表示距離某一個标準值或中間值的離散程度，即都表示變異程度，但是兩者是有着較大的區别的。
首先要從統計抽樣的方面說起。現實生活或者調查研究中，我們常常無法對某類欲進行調查的目标群體的所有成員都加以施測，而隻能夠在所有成員（即樣本）中抽取一些成員出來進行調查，然後利用統計原理和方法對所得數據進行分析，分析出來的數據結果就是樣本的結果，然後用樣本結果推斷總體的情況。一個總體可以抽取出多個樣本，所抽取的樣本越多，其樣本均值就越接近總體數據的平均值。
标準差的意義
标準差表示的就是樣本數據的離散程度。标準差就是樣本平均數方差的開平方，标準差通常是相對于樣本數據的平均值而定的，通常用M±SD來表示，表示樣本某個數據觀察值相距平均值有多遠。從這裡可以看到，标準差收到極值的影響。标準差越小，表明數據越聚集；标準差越大，表明數據越離散。
标準差的大小因測驗而定，如果一個測驗是學術測驗，标準差大，表示學生分數的離散程度大，更能夠測量出學生的學業水平；如果一個側樣測量的是某種心理品質，标準差小，表明所編寫的題目是同質的，這時候的标準差小的更好。标準差與正态分布有密切聯系：在正态分布中，1個标準差等于正态分布下曲線的68.26%的面積，1.96個标準差等于95%的面積。
