簡介
通俗地認為,通常包含所有有理數和無理數的集合就是實數集,通常用大寫字母R表示。
18世紀,微積分學在實數的基礎上發展起來。但當時的實數集并沒有精确的定義。直到1871年,德國數學家康托爾第一次提出了實數的嚴格定義。定義是由四組公理為基礎的:
加法定理
1.1.對于任意屬于集合R的元素a、b,可以定義它們的加法a+b,且a+b屬于R;
1.2.加法有恒元0,且a+0=0+a=a(從而存在相反數);
1.3.加法有交換律,a+b=b+a;
1.4.加法有結合律,(a+b)+c=a+(b+c)。
乘法定理
2.1對于任意屬于集合R的元素a、b,可以定義它們的乘法a·b,且a·b屬于R;
2.2乘法有恒元1,且a·1=1·a=a(從而除0外存在倒數);
2.3乘法有交換律,a·b=b·a;
2.4乘法有結合律,(a·b)·c=a·(b·c);
2.5乘法對加法有分配律,即a·(b+c)=(b+c)·a=a·b+a·c。
序公理
3.1∀x、y∈R,x
3.2若x
3.3若x
3.4傳遞性:若x
完備公理
(1)任何一個非空有上界的集合(包含于R)必有上确界。
(2)設A、B是兩個包含于R的集合,且對任何x屬于A,y屬于B,都有x
符合以上四組公理的任何一個集合都叫做實數集,實數集的元素稱為實數。