定理
介值定理说明如下。
考虑实数域上的区间以及在此区间上的连续函数。那么，
（1）如果是在之间的数，也就是说：
那么，存在使得。
（2）值域也是一个区间，或者它包含，或者它包含。
与完整性关系
定理取决于，或者说等价于实数的完整性。 介值定理不适用于有理数Q，因为有理数之间存在无理数。 例如，函数 满足 。 然而，不存在有理数x使得 ，因为 是一个无理数。
证明
该定理可以根据实数的完整性来证明：
我们将证明第一种情况， ，第二种情况类似。
让S是[a，b]中的所有x的集合，让 。S是非空的因为a是S的元素，并且b是S的边界。 因此，通过完整性，存在上限 。 也就是说，c是大于或等于S的每个元素的最小数。我们称 。
存在 。 由于f是连续的，当 时，存在 ，使得 。 这意味着
对于所有的，存在属于S的 ，使得
选择 ，这显然不会包含在S中，所以我们有
两种不等式
对于所有的 都是成立的，如我们所说，我们推导出 是唯一可能的值。
介值定理也可以使用非标准分析的方法来证明，这在非常严格的基础上提出了涉及无限小数的“直观”论证。 （见文章：非标微积分）
历史
对于上面的u = 0，该声明也称为博尔扎诺定理。这个定理在1817年被伯纳德·博尔扎诺（Bernard Bolzano）首次证明。奥古斯丁 - 路易·柯西在1821年提供了一个证据。两者的灵感来自于对约瑟夫·路易斯拉格朗日函数的分析正式化的目标。连续函数具有中间值的想法早有起源。西蒙·斯蒂文通过提供用于构造解的十进制扩展的算法，证明了多项式的介值定理（以立方为例）。该算法迭代地将间隔细分为10个部分，在迭代的每个步骤产生一个附加的十进制数字。在给出连续性的正式定义之前，将介值作为连续函数定义的一部分。支持者包括路易斯·阿博加斯特（Louis Arbogast），没有跳跃的函数满足介值定理，并且具有尺寸对应于变量大小的增量。早期的作者认为结果是直观的，不需要证明。博尔扎诺和柯西的观点是定义一个连贯性的概念（就柯西案中的无限小数而言，在博尔扎诺案中使用实际的不平等），并提供基于这种定义的证据。
错的定理
“Darboux函数”是具有“介值属性”的实值函数f，即满足介值定理的结论：对于f的域中的任何两个值a和b，以及任何y在f（a）和f（b）中，a和b之间有一些c，f（c）= y。介值定理说每个连续函数都是一个Darboux函数。但是，并不是每个Darboux功能都是连续的；即介值定理的相反是错的。
例如，对于x> 0和f（0）= 0，取 定义的函数 在x = 0时连续，这个函数在x=0处不连续，但是该函数具有介值属性。
历史上，这个介值属性被建议为实数函数连续性的定义，但这个定义没有被采纳。
Darboux定理指出，由某些区间上某些其他函数的区分产生的所有函数都具有介值属性（尽管它们不需要连续）。
应用
定理意味着，在世界各地的任何一个大环境中，对于温度，压力，高程，二氧化碳浓度来说，如果是连续变化的，那么总是会存在两个与该变量相同值的对映点。
证明：将f作为圆上的任何连续函数。在圆的中心绘制一条线，在两个相对的点A和B处与其相交。令d由差定义。如果线旋转180度，将取代值-d。由于介值定理，必须有一些中间旋转角，其中d = 0，因此 在该角度。
对于任何封闭的凸n（n> 1）尺寸形状。具体来说，对于其领域是给定形状的任何连续函数，以及形状（不一定是其中心）内的任何点，相对于函数值相同的给定点存在两个对象点。证明与上述相同。
这个定理也是为什么旋转摇摆表将使其变得稳定的解释（受到某些容易遇到的限制）。
特殊情况
如果f(a)与f(b)异号，那么在开区间（a,b）内至少有一点ξ，使得f(ξ)=0 (a<ξ
几何意义
连续曲线弧y=f(x)与水平直线y=C至少相交于一点。特别地，如果A与B异号，则连续曲线与x轴至少相交一次。
定理推广
在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)的值域为闭区间[m,M]，其中m与M依次为f(x)在[a,b]上的最小值和最大值。
