簡介
無理數，即非有理數之實數，不能寫作兩整數之比。若将它寫成小數形式，小數點之後的數字有無限多個，并且不會循環，也就是說它是無限不循環小數。 常見的無理數有大部分的平方根、π和e（其中後兩者同時為超越數）等。無理數的另一特征是無限的連分數表達式。傳說中，無理數最早由畢達哥拉斯學派弟子希伯斯發現。
他以幾何方法證明無法用整數及分數表示。而畢達哥拉斯深信任意數均可用整數及分數表示，不相信無理數的存在。但是他始終無法證明不是無理數，後來希伯斯将無理數透露給外人——此知識外洩一事觸犯學派章程——因而被處死，其罪名等同于“渎神”。
曆史
畢達哥拉斯（Pythagqras,約公元前885年至公元前400年間）是古希臘的大數學家。他證明許多重要的定理，包括後來以他的名字命名的畢達哥拉斯定理（勾股弦定理），即直角三角形兩直角邊為邊長的正方形的面積之和等于以斜邊為邊長的正方形的面積。畢達哥拉斯将數學知識運用得純熟之後，覺得不能隻滿足于用來算題解題，于是他試着從數學領域擴大到哲學，用數的觀點去解釋一下世界。
經過一番刻苦實踐，他提出“萬物皆是數”的觀點，數的元素就是萬物的元素，世界是由數組成的，世界上的一切沒有不可以用數來表示的，數本身就是世界的秩序。在他死後大約200年，他的門徒們把這種理論加以研究發展，形成了一個強大的畢達哥拉斯學派。
公元前500年，古希臘畢達哥拉斯（Pythagoras）學派的弟子希伯索斯（Hippasus）發現了一個驚人的事實，一個正方形的對角線與其一邊的長度是不可公度的（若正方形的邊長為1，則對角線的長不是一個有理數），這一不可公度性與畢氏學派的“萬物皆數”（指有理數）的哲理大相徑庭。這一發現使該學派領導人惶恐，認為這将動搖他們在學術界的統治地位，于是極力封鎖該真理的流傳，希伯索斯被迫流亡他鄉，不幸的是，在一條海船上還是遇到畢氏門徒，于是希伯索斯被殘忍地扔進了大海。
希伯索斯的發現，第一次向人們揭示了有理數系的缺陷，證明了它不能同連續的無限直線等同看待，有理數并沒有布滿數軸上的點，在數軸上存在着不能用有理數表示的“孔隙”。而這種“孔隙”經後人證明簡直多得“不可勝數”。于是，古希臘人把有理數視為連續銜接的那種算術連續統的設想徹底地破滅了。不可公度量的發現連同芝諾悖論一同被稱為數學史上的第一次數學危機，對以後2000多年數學的發展産生了深遠的影響，促使人們從依靠直覺、經驗而轉向依靠證明，推動了公理幾何學和邏輯學的發展，并且孕育了微積分思想萌芽。
不可約的本質是什麼？長期以來衆說紛纭，得不到正确的解釋，兩個不可通約的比值也一直認為是不可理喻的數。15世紀意大利著名畫家達.芬奇稱之為“無理的數”，17世紀德國天文學家開普勒稱之為“不可名狀”的數。
然而真理畢竟是淹沒不了的，畢氏學派抹殺真理才是“無理”。人們為了紀念希伯索斯這位為真理而獻身的可敬學者，就把不可通約的量取名“無理數”——這就是無理數的由來。
由無理數引發的數學危機一直延續到19世紀下半葉。1872年，德國數學家戴德金從連續性的要求出發，用有理數的“分割”來定義無理數，并把實數理論建立在嚴格的科學基礎上，從而結束了無理數被認為“無理”的時代，也結束了持續2000多年的數學史上的第一次大危機。
區别
1、把有理數和無理數都寫成小數形式時，有理數能寫成有限小數和無限循環小數，比如4=4.0, 4/5=0.8, 1/3=0.33333……而無理數隻能寫成無限不循環小數,比如√2=1.414213562…………根據這一點,人們把無理數定義為無限不循環小數.
2、所有的有理數都可以寫成兩個整數之比；而無理數不能。根據這一點，有人建議給無理數摘掉“無理”的帽子，把有理數改叫為“比數”，把無理數改叫為“非比數”。本來嘛，無理數并不是不講道理，隻是人們最初對它不太了解罷了。利用有理數和無理數的主要區别，可以證明√2是無理數。
證明：假設√2不是無理數，而是有理數。
既然√2是有理數，它必然可以寫成兩個整數之比的形式：√2=p/q 又由于p和q有公因數可以約去，所以可以認為p/q 為既約分數。把√2=p/q兩邊平方。得2=(p^2)/(q^2) 即2(q^2)=p^2由于2q^2是偶數，p 必定為偶數，設p=2m由 2(q^2)=4(m^2)得 q^2=2m^2同理q必然也為偶數，設q=2n既然p和q都是偶數，他們必定有公因數2，這與前面假設p/q是既約分數矛盾。這個矛盾是有假設√2是有理數引起的。因此√2是無理數。
教訓反思
科學不等于聖潔。科學家不等于道德高尚。這樣的教訓古今都有。公元前500年，古希臘畢達哥拉斯(Pythagoras)學派的弟子希帕索斯(Hippasus)發現無理數，卻被處死。
曆史的教訓在于給人類以教益。科學完全走出政治強權的陰影，完全走出李森科之流的陰影，這在今天仍然是人類的一項艱巨的任務。控制論的創立者諾伯特·維納的話提供了這一事件的反思：“科學是一種生活方式，它隻在人們具有信仰自由的時候才能繁榮起來。基于外界的命令而被迫去遵從的信仰并不是什麼信仰，基于這種假信仰而建立起來的社會必然會由于癱瘓而導緻滅亡，因為在這樣的社會裡，科學沒有健康生長的基礎。”
矛盾
事實上，科學的存在和發展中一個永恒的問題是标準與創新的矛盾。一方面，科學知識的出現必然形成相關的評判正誤的标準，另一方面，科學知識出現的過程就是對原有标準突破的過程，因此也必然受到原有标準的限制或壓制。這就需要我們更深刻地反思兩種科學的悲劇：一種是推行錯誤的标準所導緻的後果。
另一種是肆意創新所帶來的人道主義災難。聶文濤面向基層醫院适宜技術培訓講演中說：人類推行糖尿病“限制碳水化合物”飲食标準（John rollo标準），到重新執行“高碳水化合物”标準（如北京協和醫院标準），這期間無數患者因為錯誤的糖尿病飲食治療進一步喪失了健康。醫學界要如何面對這樣的情況？該講演引發的強烈震動，正在于他提出了一個深刻的科學倫理問題。
斯蒂芬·茨威格在《異端的權利》原文中的兩段話：“（卡斯特裡奧與加爾文）在這場戰争中，存在着一個範圍大得多并且是永恒的生死攸關的問題。”“每一個國家，每一個時代，每一個有思想的人，都不得不多次确定自由和權力間的界标。因為，如果缺乏權力，自由就會退化為放縱，混亂随之發生；另一方面，除非濟以自由，權力就會成為暴政。”
這兩段話隐藏着這樣的意思：（1）應該給所有持異端見解的人證明自己的權利，或者說一切反對異端見解的人必須提供證據；（2）所有持異端見解的人都需要證明自己的正确，而無需在此之前抱怨社會的不理解。（3）所謂科學發展的意義，正在于改變人類原有的認識。因此，選擇錯誤是一種權利，否則就沒有科學探索的合理性。
