内容
以實數作為自變量的函數就做實變函數，以實變函數作為研究對象的數學分支就叫做實變函數論。它是微積分學的進一步發展，它的基礎是點集論。什麼是點集論呢？點集論是專門研究點所成的集合的性質的理論。也可以說實變函數論是在點集論的基礎上研究分析數學中的一些最基本的概念和性質的。比如，點集函數、序列、極限、連續性、可微性、積分等。實變函數論還要研究實變函數的分類問題、結構問題。
實變函數論的内容包括實值函數的連續性質、微分理論、積分理論和測度論等。這裡我們隻對它的一些重要的基本概念作簡要的介紹。
實變函數論的積分理論研究各種積分的推廣方法和它們的運算規則。由于積分歸根到底是數的運算，所以在進行積分的時候，必須給各種點集以一個數量的概念，這個概念叫做測度。
什麼實測度呢？簡單地說，一條線段的長度就是它的測度。測度的概念對于實變函數論十分重要。集合的測度這個概念實由法國數學家勒貝格提出來的。
為了推廣積分概念，1893年，約當在他所寫的《分析教程》中，提出了“約當容度”的概念并用來讨論積分。1898年，法國數學家波萊爾把容度的概念作了改進，并把它叫做測度。波萊爾的學生勒貝格後來發表《積分、長度、面積》的論文，提出了“勒貝格測度”、“勒貝格積分”的概念。勒貝格還在他的論文《積分和圓函數的研究》中，證明了有界函數黎曼可積的充分必要條件是不連續點構成一個零測度集，這就完全解決了黎曼可積性的問題。
勒貝格積分可以推廣到無界函數的情形，這個時候所得積分是絕對收斂的，後來由推廣到積分可以不是絕對收斂的。從這些就可以看出，勒貝格積分比起由柯西給出後來又由黎曼發揚的老積分定義廣大多了。也可以看出，實變函數論所研究的是更為廣泛的函數類。
自從維爾斯特拉斯證明連續函數必定可以表示成一緻收斂的多項式級數，人們就認清連續函數必定可以解析地表達出來，連續函數也必定可以用多項式來逼近。這樣，在實變函數論的領域裡又出現了逼近論的理論。
什麼是逼近理論呢？舉例來說，如果能把A類函數表示成B類函數的極限，就說A類函數能以B類函數來逼近。如果已經掌握了B類函數的某些性質，那麼往往可以由此推出A類函數的相應性質。逼近論就是研究那一類函數可以用另一類函數來逼近、逼近的方法、逼近的程度和在逼近中出現的各種情況。
和逼近理論密切相關的有正交級數理論，三角級數就是一種正交級數。和逼近理論相關的還有一種理論，就是從某一類已知函數出發構造出新的函數類型的理論，這種理論叫做函數構造論。
總之，實變函數論和古典數學分析不同，它是一種比較高深精細的理論，是數學的一個重要分支，它的應用廣泛，它在數學各個分支的應用是現代數學的特征。
實變函數論不僅應用廣泛，是某些數學分支的基本工具，而且它的觀念和方法以及它在各個數學分支的應用，對形成近代數學的一般拓撲學和泛涵分析兩個重要分支有着極為重要的影響。
