抛物線方程

定義

抛物線定義：平面内與一個定點F 和一條直線l 的距離相等的點的軌迹叫做抛物線，點F 叫做抛物線的焦點，直線l 叫做抛物線的準線，定點F不在定直線上。它與橢圓、雙曲線的第二定義相仿，僅比值（離心率e）不同，當e=1時為抛物線，當01時為雙曲線。

方程

抛物線的标準方程有四種形式，參數p的幾何意義，是焦點到準線的距離，掌握不同形式方程的幾何性質（如下表）：其中P(x0,y0)為抛物線上任一點。

标準方程

y^2=2px（p>0）

y^2=-2px（p>0）

x^2=2py（p>0）

x^2=-2py（p>0）

圖形

範圍

x≥0，y

 R

x≤0，y

 R

y≥0，x

 R

y≤0，x

 R

對稱軸

X軸

y軸

頂點坐标

原點O(0,0)

焦點坐标

（

 ，0）

（

 ，0）

（0，

 ）

（0，

 ）

準線方程

離心率

e = 1

焦半徑

對于抛物線y^2=2px(p≠0)上的點的坐标可設為( ,y0)，以簡化運算。

抛物線的焦點弦：設過抛物線y^2=2px(p>0)的焦點F的直線與抛物線交于A（x1，y1）、B（x2，y2），直線OA與OB的斜率分别為k1,k2，直線l的傾斜角為α，則有y1y2=-p^2，x1x2= ，k1k2=-4，|FA|= ,|FB|= ,|AB|=x1+x2+p。

幾何性質

方程的具體表達式為y=ax^2+bx+c

⑴a 0

⑵a>0，則抛物線開口朝上；a<0，則抛物線開口朝下；

⑶極值點（頂點）：（ ， ）；

⑷Δ=b^2-4ac,

Δ>0，圖象與x軸交于兩點：

（ ，0）和（ ，0）；

Δ=0，圖象與x軸交于一點：

（ ，0）；

Δ<0，圖象與x軸無交點；

(5)對稱軸(頂點)在y 軸 左側時 , a ,b 同号 ,對稱軸 (頂點 ) 在 y 軸右側時,a 、b 異号；對稱軸(頂點)在y軸上時, b=0，抛物線的頂點在原點時, b=c=0。

(6)當x=0時，可通過與y軸交點判斷c值，即若抛物線交y軸為正半軸，則c>0；若抛物線交y軸為負半軸，則c<0 。