定義
ARMA模型(autoregressivemovingaveragemodel)自回歸滑動平均模型,模型參量法高分辨率譜分析方法之一。這種方法是研究平穩随機過程有理譜的典型方法,适用于很大一類實際問題。它比AR模型法與MA模型法有較精确的譜估計及較優良的譜分辨率性能,但其參數估算比較繁瑣。
ARMA模型參數估計的方法很多:
如果模型的輸入序列{u(n)}與輸出序列{a(n)}均能被測量時,則可以用最小二乘法估計其模型參數,這種估計是線性估計,模型參數能以足夠的精度估計出來;
許多譜估計中,僅能得到模型的輸出序列{x(n)},這時,參數估計是非線性的,難以求得ARMA模型參數的準确估值。從理論上推出了一些ARMA模型參數的最佳估計方法,但它們存在計算量大和不能保證收斂的缺點。因此工程上提出次最佳方法,即分别估計AR和MA參數,而不像最佳參數估計中那樣同時估計AR和MA參數,從而使計算量大大減少。
基本原理
将預測指标随時間推移而形成的數據序列看作是一個随機序列,這組随機變量所具有的依存關系體現着原始數據在時間上的延續性。一方面,影響因素的影響,另一方面,又有自身變動規律,假定影響因素為x1,x2,…,xk,由回歸分析,
其中Y是預測對象的觀測值,Z為誤差。作為預測對象Yt受到自身變化的影響,其規律可由下式體現,
誤差項在不同時期具有依存關系,由下式表示,
由此,獲得ARMA模型表達式:
基本形式
ARMA模型分為以下三種:
自回歸模型(AR:Auto-regressive)
如果時間序列滿足
其中是獨立同分布的随機變量序列,且滿足:
以及,則稱時間序列為服從p階的自回歸模型。
自回歸模型的平穩條件:
滞後算子多項式
的根均在單位圓外,即φ(B) = 0的根大于1。
移動平均模型(MA:Moving-Average)
如果時間序列滿足
則稱時間序列為服從q階移動平均模型;移動平均模型平穩條件:任何條件下都平穩。
自回歸滑動平均模型(ARMA)
如果時間序列滿足:
則稱時間序列為服從(p,q)階自回歸滑動平均混合模型。或者記為。
AR模型
AR模型自回歸模型,模型參量法高分辨率譜分析方法之一,也是現代譜估計中常用的模型。
用AR模型法求信具體作法是:
①選擇AR模型,在輸入是沖激函數或白噪聲的情況下,使其輸出等于所研究的信号,至少,應是對該信号的一個好的近似。
②利用已知的自相關函數或數據求模型的參數。
③利用求出的模型參數估計該信号的功率譜。
MA模型
MA模型滑動平均模型,模型參量法譜分析方法之一,也是現代譜估中常用的模型。
用MA模型法求信号譜估計的具體作法是:①選擇MA模型,在輸入是沖激函數或白噪聲情況下,使其輸出等于所研究的信号,至少應是對該信号一個好的近似。②利用已知的自相關函數或數據求MA模型的參數。③利用求出的模型參數估計該信号的功率譜。
在ARMA參數譜估計中,大多數估計ARMA參數的兩步方法都首先估計AR參數,然後在這些AR參數基礎上,再估計MA參數,然後可求出ARMA參數的譜估計。所以MA模型參數估計常作為ARMA參數譜估計的過程來計算。
應用
綜上所述可以看出,AR模型和MA模型均為ARMA模型的特殊形式,三者皆可以用于處理分離正弦信号頻率,多應用于機械零件比如齒輪、軸承故障診斷和分析。
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