线性规划简介
数学模型
（1）列出约束条件及目标函数
（2）画出约束条件所表示的可行域
（3）在可行域内求目标函数的最优解及最优值
标准型
描述线性规划问题的常用和最直观形式是标准型。标准型包括以下三个部分：
一个需要极大化的线性函数：
以下形式的问题约束：
和非负变量：
其它类型的问题，例如极小化问题，不同形式的约束问题，和有负变量的问题，都可以改写成其等价问题的标准型。
模型建立
从实际问题中建立数学模型一般有以下三个步骤；
1.根据影响所要达到目的的因素找到决策变量；
2.由决策变量和所在达到目的之间的函数关系确定目标函数；
3.由决策变量所受的限制条件确定决策变量所要满足的约束条件。
所建立的数学模型具有以下特点：
1、每个模型都有若干个决策变量（x1，x2，x3……，xn），其中n为决策变量个数。决策变量的一组值表示一种方案，同时决策变量一般是非负的。
2、目标函数是决策变量的线性函数，根据具体问题可以是最大化（max）或最小化（min），二者统称为最优化（opt）。
3、约束条件也是决策变量的线性函数。
当我们得到的数学模型的目标函数为线性函数，约束条件为线性等式或不等式时称此数学模型为线性规划模型。
例：
生产安排模型：某工厂要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗，如表所示，表中右边一列是每日设备能力及原材料供应的限量，该工厂生产一单位产品Ⅰ可获利2元，生产一单位产品Ⅱ可获利3元，问应如何安排生产，使其获利最多？
解：
1、确定决策变量：设x1、x2分别为产品Ⅰ、Ⅱ的生产数量；
2、明确目标函数：获利最大，即求2x1+3x2最大值；
3、所满足的约束条件：
设备限制：x1+2x2≤8
原材料A限制：4x1≤16
原材料B限制：4x2≤12
基本要求：x1，x2≥0
用max代替最大值，s.t.（subject to的简写）代替约束条件，则该模型可记为：
max z=2x1+3x2
s.t.x1+2x2≤8
4x1≤16
4x2≤12
x1，x2≥0
解法
求解线性规划问题的基本方法是单纯形法，已有单纯形法的标准软件，可在电子计算机上求解约束条件和决策变量数达10000个以上的线性规划问题。为了提高解题速度，又有改进单纯形法、对偶单纯形法、原始对偶方法、分解算法和各种多项式时间算法。对于只有两个变量的简单的线性规划问题，也可采用图解法求解。这种方法仅适用于只有两个变量的线性规划问题。它的特点是直观而易于理解，但实用价值不大。通过图解法求解可以理解线性规划的一些基本概念。
对于一般线性规划问题：Min z=CX
S.T.
AX=b
X>=0
其中A为一个m*n矩阵。
若A行满秩
则可以找到基矩阵B，并寻找初始基解。
用N表示对应于B的非基矩阵。则规划问题1可化为：
规划问题2：
Min z=CB XB+CNXN
S.T.B XB+N XN=b(1)
XB>=0，XN>=0(2)
(1)两边同乘B-1，得
XB+B-1 N XN=B-1 b
同时，由上式得XB=B-1 b-B-1 N XN，也代入目标函数，问题可以继续化为：
规划问题3：
Min z=CB B-1 b+(CN- CB B-1 N)XN
S.T.
XB+B-1N XN=B-1 b(1)
XB>=0，XN>=0(2)
令N:=B-1N，b:=B-1 b，ζ=CB B-1b，σ= CN - CB B-1 N，则上述问题化为规划问题形式4：
Min z=ζ+σ XN
S.T.
XB+N XN=b(1)
XB>=0，XN>=0(2)
在上述变换中，若能找到规划问题形式4，使得b>=0，称该形式为初始基解形式。
上述的变换相当于对整个扩展矩阵（包含C及A）乘以增广矩阵。所以重在选择B，从而找出对应的CB。
若存在初始基解
若σ>=0
则z>=ζ。同时，令XN=0，XB=b，这是一个可行解，且此时z=ζ，即达到最优值。所以，此时可以得到最优解。
若σ>=0不成立
可以采用单纯形表变换。
σ中存在分量<0。这些负分量对应的决策变量编号中，最小的为j。N中与j对应的列向量为Pj。
若Pj<=0不成立
则Pj至少存在一个分量ai，j为正。在规划问题4的约束条件（1）的两边乘以矩阵T。
T=
则变换后，决策变量xj成为基变量，替换掉原来的那个基变量。为使得T b>=0，且T Pj=ei（其中，ei表示第i个单位向量），需要：
l ai，j>0。
l βq+βi*(-aq，j/ai，j)>=0，其中q!=i。即βq>=βi/ai，j*aq，j。
n若aq，j<=0，上式一定成立。
n若aq，j>0，则需要βq/aq，j>=βi/ai，j。因此，要选择i使得βi/ai，j最小。
如果这种方法确定了多个下标，选择下标最小的一个。
转换后得到规划问题4的形式，继续对σ进行判断。由于基解是有限个，因此，一定可以在有限步跳出该循环。
若对于每一个i，ai，j<=0
最优值无解。
若不能寻找到初始基解
无解。
若A不是行满秩
化简直到A行满秩，转到若A行满秩。
发展
法国数学家J.-B.-J.傅里叶和C.瓦莱－普森分别于1832和1911年独立地提出线性规划的想法，但未引起注意。
1939年苏联数学家Л.В.康托罗维奇在《生产组织与计划中的数学方法》一书中提出线性规划问题，也未引起重视。
1947年美国数学家G.B.Dantzing提出求解线性规划的单纯形法，为这门学科奠定了基础。
1947年美国数学家J.von诺伊曼提出对偶理论，开创了线性规划的许多新的研究领域，扩大了它的应用范围和解题能力。
1951年美国经济学家T.C.库普曼斯把线性规划应用到经济领域，为此与康托罗维奇一起获1975年诺贝尔经济学奖。
50年代后对线性规划进行大量的理论研究，并涌现出一大批新的算法。例如，1954年C.莱姆基提出对偶单纯形法，1954年S.加斯和T.萨迪等人解决了线性规划的灵敏度分析和参数规划问题，1956年A.塔克提出互补松弛定理，1960年G.B.丹齐克和P.沃尔夫提出分解算法等。
线性规划的研究成果还直接推动了其他数学规划问题包括整数规划、随机规划和非线性规划的算法研究。由于数字电子计算机的发展，出现了许多线性规划软件，如MPSX，OPHEIE，UMPIRE等，可以很方便地求解几千个变量的线性规划问题。
1979年苏联数学家L.G.Khachian提出解线性规划问题的椭球算法，并证明它是多项式时间算法。
1984年美国贝尔电话实验室的印度数学家N.卡马卡提出解线性规划问题的新的多项式时间算法。用这种方法求解线性规划问题在变量个数为5000时只要单纯形法所用时间的1/50。现已形成线性规划多项式算法理论。50年代后线性规划的应用范围不断扩大。建立线性规划模型的方法。
应用
在企业的各项管理活动中，例如计划、生产、运输、技术等问题，线性规划是指从各种限制条件的组合中，选择出最为合理的计算方法，建立线性规划模型从而求得最佳结果。
