定义
从第二项起,每一项都等于前一项加上同一个数d的有限数列或无限数列.又叫算术数列.这个数d称为等差数列的公差.等差数列可以记作
等差数列从第二项开始每一项是前项和后项的算术平均数.
如果等差数列的公差是正数,则该等差数列是递增数列;
如果等差数列的公差是负数,则该数列是递减数列;
如果等差数列的公差等于零,则该数列是常数列.
对于一个数列al,a2,…,an,…,如果它的相邻两项之差a2-a1,a3-a2,…,an+1-an,…构成公差不为零的等差数列,则称数列{an}为二阶等差数列. 运用递归的方法可以依次定义各阶等差数列:对于数列{an},如果{an+1-an}是r阶等差数列,则称数列{an}是r+1阶等差数列.二阶或二阶以上的等差数列称为高阶等差数列.
r阶等差数列的通项公式可以用一个关于项数n的r次多项式来表示,反之,通项公式为项数n的r次多项式的数列必为r阶等差数列。
高阶等差数列的求和方法主要有两种,一种是将其通项(项数n的r次多项式)表成差分多项式的线性组合从而求和.另一种是利用自然数幂的求和公式,如
r阶等差数列的前n项和公式是项数n的r+1次多项式,对r不太高的情况也可用待定系数法来确定.
二阶等差数列的通项
式中an是第n项,a1是第一项,n为项数,d1是数列的后项减去紧邻的前一项所得的第一次差构成的数列的首项,d2是第二次差.例如二阶等差数列1,4,9,16,25,36,49,…,通项
二阶等差数列钱n项和
例如二阶等差数列{n^2}前n项和
{ }是等差数列=常数d，d为等差数列{ }的公差．
相关公式
设{ }是等差数列，d为等差数列{}的公差，则有如下公式：
等差数列的通项公式：
等差数列的一般形式：
等差数列的前n项和公式：
相关性质
(1)常数列：C，C，…，C是公差d=0的等差数列．
(2)等差中项：如果a，A，b成等差数列，则A叫作a与b的等差中项，且A=(a+b)/2．
(3)若Sn是等差数列的前n项和，则Sn， ，…是一个等差数列．
(4)若{ }是等差数列，公差d>0时{ }是递增数列，d<0时{ }是递减数列．
(5)在同一数列中，当m+n=p+q时，．
