簡介
Z變換（Z-transformation）可将時域信号（即離散時間序列）變換為在複頻域的表達式。它在離散時間信号處理中的地位，如同拉普拉斯變換在連續時間信号處理中的地位。離散時間信号的Z變換是分析線性時不變離散時間系統問題的重要工具，把線性移（時）不變離散系統的時域數學模型——差分方程轉換為Z域的代數方程，使離散系統的分析同樣得以簡化，還可以利用系統函數來分析系統的時域特性、頻率響應及穩定性等。
Z變換具有許多重要的特性：如線性、時移性、微分性、序列卷積特性和複卷積定理等等。這些性質在解決信号處理問題時都具有重要的作用。其中最具有典型意義的是卷積特性。由于信号處理的任務是将輸入信号序列經過某個（或一系列各種）系統的處理後輸出所需要的信号序列，因此，首要的問題是如何由輸入信号和所使用的系統的特性求得輸出信号。通過理論分析可知，若直接在時域中求解，則由于輸出信号序列等于輸入信号序列與所用系統的單位抽樣響應序列的卷積和，故為求輸出信号，必須進行繁瑣的求卷積和的運算。而利用Z變換的卷積特性則可将這一過程大大簡化。隻要先分别求出輸入信号序列及系統的單位抽樣響應序列的Z變換，然後再求出二者乘積的反變換即可得到輸出信号序列。這裡的反變換即逆Z變換，是由信号序列的Z變換反回去求原信号序列的變換方式。
當前，已有現成的與拉氏變換表類似的Z表。對于一般的信号序列，均可以由表上直接查出其Z變換。相應地，當然也可由信号序列的Z變換查出原信号序列，從而使求取信号序列的Z變換較為簡便易行。
曆史
在變換理論的研究方面，霍爾維茲（W. Hurewicz）于1947年邁出了第一步，他首先引進了一個變換用于對離散序列的處理。在此基礎上，崔普金于1949年、拉格茲尼和紮德（R.Ragazzini和LA. Zadeh）于1952年，分别提出和定義了Z變換方法，大大簡化了運算步驟，并在此基礎上發展起脈沖控制系統理論。
由于Z變換隻能反映脈沖系統在采樣點的運動規律，崔普金、巴克爾（R.H. Barker）和朱利（EIJury）又分别于1950年、1951年和1956年提出了廣義Z變換和修正Z變換（modified Z-transformation）的方法。
雙邊Z變換
稱為X（z）的收斂域。
單邊Z變換
稱為X（z）的收斂域。
雙邊Z變換與單邊Z變換的關系：
式中
可見，因果序列的單邊Z變換與雙邊Z變換的結果相同。由于單邊Z變換的求和下限為n=0，所以任一有界序列x（n）（因果或非因果序列）的單邊Z變換等于因果序列x（n）E（n）的雙邊Z變換。雙邊Z變換的求和範圍為n=-∞到∞，單邊Z變換的求和範圍為n=0到∞。
由于單邊Z變換可以考慮到初始條件，所以用于在已知系統的初始狀态以及序列的初始條件時求取系統的瞬态響應，既可以求零輸入響應，又可以求零狀态響應。
收斂域
根據Z變換的定義可知，Z變換收斂的充要條件是它滿足絕對可和條件，即：
（單邊Z變換）
（雙邊Z變換）
在z平面上使上式成立的z的取值範圍Rx稱為任意給定的有界序列x（n）的Z變換X（z）的收斂域。
主要性質
Z變換X（z）的收斂域是z平面上以原點為中心的同心圓環：Rx1
Z變換X（z）的收斂域内不能包含任何極點。
分類
不同序列的雙邊Z變換的收斂域如下表所示。
基本性質
Z變換的基本性質如下圖所示：
常用變換對
常用序列的Z變換如圖5和圖6：
逆Z變換的定義式為：
式中n=...-2，-1，0，1，2...。若已知X（z）及其收斂域，則可以求出其Z逆變換。
求解逆Z變換的計算：
1、部分分式法
2、幂級數展開法（長除法）依據：X（z）的級數中z^-n的系數就是序列x（n）。它隻适用于左邊序列（包括反因果序列）和右邊序列（包括因果序列）。幂級數展開法的缺點是不易求出序列x（n）的閉合表達式。當X（z）的逆變換不是時限序列時，用部分分式法和留數法較為方便。
3、留數法（圍線積分法）所謂留數法是指将Z逆變換式的計算轉換成求X（z）z^（n-1）的留數計算。
與傅裡葉變換的關系
因為，按Z變換的定義，X（z）可寫成
上式的Z變換可以看作為序列x（n）乘以指數序列r^（-n）後的傅裡葉變換。
在單位圓|z|=1上，r=1，使上式變成：
所以序列在單位圓上的z變換即為序列的頻譜，頻譜與z變換是一種符号代換，單位圓上的z變換即為序列的傅裡葉變換。
