内容簡介
《數學物理方程》該書是為國内理工類數學相關各專業普遍開設的“數學物理方程”課程編寫的教材.其内容包括數學物理定解問題；常用定解問題解法(分離變量法，行波法，積分變換法，格林函數法)；特殊函數（主要是貝塞爾函數），極值原理及應用.每節後附有習題并在書末給出了部分答案.全書按方程解法分章，層次分明，深入淺出，便于教學. 經适當章節取舍，本書也可作為工科相關專業開設的“數理方程與特殊函數”課程的教材，并可供從事偏微分方程研究的科技工作者參考.
目錄
1偏微分方程模型與定解問題
1.1弦振動方程模型及定解條件
1.1.1弦振動方程的導出
1.1.2定解問題與定解條件
習題1.1
1.2其他典型方程模型與疊加原理
1.2.1熱傳導方程模型
1.2.2調和方程模型
1.2.3交通流模型
1.2.4疊加原理
習題1.2
2特征線法與行波法
2.1特征線法
2.1.1一階常系數線性方程求解
2.1.2一維波動方程的通解
習題2.1
2.2達朗貝爾公式
2.2.1達朗貝爾公式的導出
2.2.2傳播波
2.2.3依賴區間、決定區域和影響區域
習題2.2
2.3三維波動方程的柯西問題
2.3.1三維波動方程的泊松公式
2.3.2泊松公式的物理意義
2.3.3降維法求解二維波動方程的柯西問題
習題2.3
2.4齊次化原理及應用
2.4.1齊次化原理
2.4.2齊次化原理應用
2.4.3高維非齊次波動方程的柯西問題
習題2.4
3分離變量法
3.1直角坐标系下的分離變量法
3.1.1有界弦的自由振動問題
3.1.2有限長杆的熱傳導問題
3.1.3分離變量法總結及固有值問題
習題3.1
3.2極坐标下的分離變量法
習題3.2
3.3非齊次方程問題與非齊次邊界問題
3.3.1非齊次方程的特征函數法
3.3.2非齊次邊界問題
習題3.3
4格林函數法
4.1狄拉克函數與基本解
4.1.1狄拉克函數
4.1.2泊松方程的基本解
習題4.1
4.2格林公式及格林函數
4.2.1散度定理與格林公式
4.2.2泊松方程狄利克雷問題的格林函數
習題4.2
4.3特殊區域上的格林函數及應用
4.3.1格林函數的求法
4.3.2格林函數應用
習題4.3
5積分變換法
5.1傅裡葉變換與拉普拉斯變換
5.1.1傅裡葉變換及其性質
5.1.2拉普拉斯變換及其性質
5.1.3典型函數的積分變換
習題5.1
5.2傅裡葉變換應用舉例
習題5.2
5.3拉普拉斯變換應用舉例
習題5.3
6特殊函數
6.1貝塞爾函數的推導
6.1.1幂級數解法
6.1.2貝塞爾函數
習題6.1
6.2貝塞爾函數的性質
6.2.1貝塞爾函數的遞推公式
6.2.2貝塞爾函數的零點與正交模
6.2.3函數按貝塞爾函數系展開
習題6.2
6.3貝塞爾函數的應用
習題6.3
6.4勒讓德函數
6.4.1勒讓德方程的求解
6.4.2勒讓德多項式
習題6.4
6.5勒讓德多項式應用
6.5.1函數按勒讓德多項式展開
6.5.2球形區域上調和方程邊值問題求解
習題6.5
7極值原理與能量估計
7.1泊松方程的極值原理
7.1.1極大值原理
7.1.2泊松方程邊值問題解的最大模估計
7.1.3強極值原理
習題7.1
7.2熱傳導方程的極值原理
7.2.1極值原理
7.2.2第一邊值問題解的唯一性
7.2.3解的最大模估計
習題7.2
7.3波動方程的能量估計
7.3.1振動的動能和位能
7.3.2初邊值問題解的唯一性與穩定性
習題7.3
附錄A傅裡葉變換函數表
附錄B拉普拉斯函數表
附錄C高斯函數和誤差函數
附錄DΓ函數
部分習題答案及提示
書籍前言
偏微分方程在物理學、工程技術和其他科學的許多領域都有着十分廣泛的應用。在上述研究領域中經常出現很多描述某些物理規律的方程，統稱為數學物理方程。通過對這些方程的求解，一方面可以得到極有實用價值的結論，另一方面又可以促進這些領域的發展。因此，數學物理方程這個學科應運而生。數學物理方程既可以作為一門純數學學科來研究，也可以作為一門應用數學學科來研究。對廣大科技工作者及理科學生來說，學習數學物理方程的目的在于應用。因此，本書為了适應這些讀者的需要，從選材上就有側重，主要涉及的不是一般數學理論，而是盡量為讀者提供與數學物理方程有關的基本概念、基本原理和解題的各種方法及技巧。
2004年以來，本課程組一直為本校通信工程和功能材料等工科專業及數學相關專業本科生講授“數學物理方程”課程，深深感到編寫一本既符合專業需要，又具有較廣泛适應性的書是多麼迫切。基于這種共同的認識，本書根據實踐教學的經驗，結合國内外經典教材的優秀特點，經過修改補充後編寫而成。盡管數學物理方程是一門數學專業基礎課，本書并不一味追求教學理論上的嚴密和完備，而把重點放在問題的物理含義和基本解題方法上。有些數學原理（定理）隻作些說明就可使用，省略的證明部分在參考書籍中可查到。适當增加應用舉例部分，綜合應用數學物理方法去解決實際問題，使學生開闊眼界，進一步提高處理實際問題的能力。另外，計算機模拟已經成了現代科學研究中的重要的手段，本書在适當部分加入了可視化模拟，如： 波的傳播、電場分布、熱運動的變化趨勢等。可視化模拟更能激發學生的學習興趣，調動學生的創造力，發揮學生的想象力，幫助學生更好地完成學習任務。
數學物理方程這門課程用到的基礎知識較為廣泛，如果将它們統統集中安排在前面叙述，這樣學起來感到枯燥無味，因此本書将所涉及的基礎知識分别插入到相應的解法中去叙述。本書中主要用到數學分析、線性代數和常微分方程的知識，有些段落也用到複變函數的知識，在第7章還用到一些泛函分析的知識。因此，本課程安排在數學相關專業第三學年為宜。本書内容包括數學物理定解問題的常用解法： 分離變量法、行波法、積分變換法、格林函數法、特殊函數（着重是貝塞爾函數和勒讓德函數）、極值原理及應用。作為教材使用時可根據具體情況加以取舍。對于工科相關專業學生建議重點學習第1~6章，而數學相關專業的學生學習第1~5，7章。
作為東北大學秦皇島分校校級立項教材，本書得到東北大學秦皇島分校給予的經費資助，同時在清華大學出版社及本書編輯陳明、趙從棉的支持推動下，本書得以順利出版，作者對他們的支持和幫助表示衷心感謝。
編者
2014年7月秦皇島
