定理定义
如果是代数数，在有理数内是线性独立的，那么在内是代数独立的；也就是说，扩张域在内具有超越次数。
一个等价的表述是：如果是不同的代数数，那么指数在代数数范围内是线性独立的。
定理推广
e和π的超越性
e和π的超越性是这个定理的直接推论。
利用反三角函数序列｛ａｒｃｃｏｓｃｏｓ（πｎ）｝的一个线性序列ｄｅｇ（ｃｎπ）＝１，去逼近ｄｅｇ（πｎ）＝ｎ的一个有理系数的多项式的方法去证明π为超越数。从而改进了１８８２年德国数学家林德曼关于的超越性证明。
假设是一个非零的代数数，那么在有理数范围内是线性独立的集合，因此根据定理的第一种表述，是一个代数独立的集合，也就是说，是超越数。特别地，是超越数。
另外，利用定理的第二种表述，我们可以证明，如果是一个非零的代数数，那么就是不同的代数数的集合，因此集合在代数数范围内是线性独立的，特别地，不能是代数数，因此一定是超越数。
我们来证明是超越数。如果v是代数数，2也是代数数（因为2是代数数），那么根据林德曼-魏尔斯特拉斯定理，（参见欧拉公式）也是超越数，这与-1是代数数的事实矛盾。
把这个证明稍微改变以下，可以证明如果α是一个非零的代数数，那么sin(α)、cos(α)、tan(α)和它们的双曲函数也是超越数。
p进数猜想
进数林德曼-魏尔斯特拉斯猜想，就是这个定理在进数中也成立：假设是素数，是进数，它们都是代数数，且在内线性独立，使得对于所有的，都有。那么进指数在内是代数独立的。
验证推导
假设是一个无界序列，则有一个子序列使得存在。由于是无界的，故而对于所有的，中的元素的绝对值无限次超过k。
令。不难发现，集合非空。
