詳細釋義
内心定理：三角形的三個内角的角平分線交于一點。該點叫做三角形的内心。
注意到内心到三邊距離相等（為内切圓半徑），内心定理其實極易證。
若三邊分别為l1，l2，l3，周長為p，則内心的重心坐标為(l1/p,l2/p,l3/p)。
直角三角形的内心到邊的距離等于兩直角邊的和減去斜邊的差的二分之一。
雙曲線上任一支上一點與兩焦點組成的三角形的内心在實軸的射影為對應支的頂點。
性質
設△ABC的内切圓為☉O(半徑r)，角A、B、C的對邊分别為a、b、c，p=(a+b+c)/2。
1、三角形的三個角平分線交于一點，該點即為三角形的内心 。
2、三角形的内心到三邊的距離相等，都等于内切圓半徑r。
3、r=S/p。
證明：S△ABC=S△OAB+S△OAC+S△OBC=(cr+br+ar)/2=rp, 即得結論。
4、△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2。
5、∠BOC=90°+∠A/2。
6、點O是平面ABC上任意一點，點O是△ABC内心的充要條件是：a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量0。
7、點O是平面ABC上任意一點，點I是△ABC内心的充要條件是：向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c)。
8、△ABC中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，那麼△ABC内心I的坐标是：(ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c))，ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c))。
9、(歐拉定理)△ABC中，R和r分别為外接圓為和内切圓的半徑，O和I分别為其外心和内心，則OI2=R2-2Rr。
10、内角平分線分三邊長度關系：如圖：△ABC中，AD是∠A的角平分線，D在BC上，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的對邊，d=AD。設R1是△ABD的外接圓半徑，R2是△ACD的外接圓半徑，則有：BD/CD=AB/AC
證明：由正弦定理得
b/sinB=c/sinC，d=2R1sinB=2R2sinC，
∴R1/R2=sinC/sinB=c/b.
又BD=2R1sinBAD， CD=2R2sinCAD，∠CAD=∠BAD，
∴BD/CD=R1/R2=c/b=AB/AC
