簡介
在數學中，抛物線是一個平面曲線，它是鏡像對稱的，并且當定向大緻為U形（如果不同的方向，它仍然是抛物線）。它适用于幾個表面上不同的數學描述中的任何一個，這些描述都可以被證明是完全相同的曲線。
抛物線的一個描述涉及一個點（焦點）和一條線（準線）。焦點并不在準線上。抛物線是該平面中與準線和焦點等距的點的軌迹。抛物線的另一個描述是作為圓錐截面，由圓錐形表面和平行于錐形母線的平面的交點形成。第三個描述是代數。
垂直于準線并通過焦點的線（即通過中間分解抛物線的線）被稱為“對稱軸”。與對稱軸相交的抛物線上的點被稱為“頂點”，并且是抛物線最鋒利彎曲的點。沿着對稱軸測量的頂點和焦點之間的距離是“焦距”。“直線”是抛物線的平行線，并通過焦點。抛物線可以向上，向下，向左，向右或向另一個任意方向打開。任何抛物線都可以重新定位并重新定位，以适應任何其他抛物線-也就是說，所有抛物線都是幾何相似的。
抛物線具有這樣的性質，如果它們由反射光的材料制成，則平行于抛物線的對稱軸行進并撞擊其凹面的光被反射到其焦點，而不管抛物線在哪裡發生反射。相反，從焦點處的點源産生的光被反射成平行（“準直”）光束，使抛物線平行于對稱軸。聲音和其他形式的能量也會産生相同的效果。這種反射性質是抛物線的許多實際應用的基礎。
抛物線具有許多重要的應用，從抛物面天線或抛物線麥克風到汽車前照燈反射器到設計彈道導彈，汽車前燈後面的反射鏡呈抛物線的形狀。事實上，它們是抛物面(抛物線①環繞它的對稱軸旋轉形成的三維空間中的曲面)。抛物線經常用于物理，工程和許多其他領域。
發展曆程
Apollonius所著的八冊《圓錐曲線》（Conics）集其大成，可以說是古希臘解析幾何學一個登峰造極的精擘之作。今日大家熟知的ellipse（橢圓）、parabola（抛物線）、hyperbola（雙曲線）這些名詞，都是Apollonius所發明的。當時對于這種既簡樸又完美的曲線的研究，乃是純粹從幾何學的觀點，研讨和圓密切相關的這種曲線；它們的幾何乃是圓的幾何的自然推廣，在當年這是一種純理念的探索，并不寄望也無從預期它們會真的在大自然的基本結構中扮演着重要的角色。
标準方程
定義
右開口抛物線：y²＝2pxt。nn左開口抛物線：y²＝-2pxnn上開口抛物線：x²＝2pynn下開口抛物線x²＝-2pynn（P＞0） [p為焦準距]
特點
在抛物線y2=2px中，焦點是(p/2，0），準線的方程是x= -p/2，離心率e=1，範圍：x≥0；
在抛物線y2= -2px 中，焦點是( -p/2，0），準線的方程是x=p/2，離心率e=1，範圍：x≤0；
在抛物線x2=2py 中，焦點是（0，p/2），準線的方程是y= -p/2,離心率e=1，範圍：y≥0；
在抛物線x2= -2py中，焦點是（0，-p/2），準線的方程是y=p/2，離心率e=1，範圍：y≤0。
四種方程
抛物線四種方程的異同
共同點：
①原點在抛物線上，離心率e均為1
②對稱軸為坐标軸；
③準線與對稱軸垂直，垂足與焦點分别對稱于原點，它們與原點的距離都等于一次項系數的絕對值的1/4
不同點：
①對稱軸為x軸時，方程右端為±2px，方程的左端為y^2；對稱軸為y軸時，方程的右端為±2py，方程的左端為x^2；
②開口方向與x軸（或y軸）的正半軸相同時，焦點在x軸（y軸）的正半軸上，方程的右端取正号；開口方向與x（或y軸）的負半軸相同時，焦點在x軸（或y軸）的負半軸上，方程的右端取負号。
切線方程
抛物線y2=2px上一點（x0，y0）處的切線方程為：yoy=p(xo+x)
抛物線y2=2px上過焦點斜率為k的方程為：y=k（x-p/2）。
相關參數
（對于向右開口的抛物線y2=2px）
離心率：e=1（恒為定值，為抛物線上一點與準線的距離以及該點與焦點的距離比）
焦點:（p/2，0）
準線方程l:x=-p/2
頂點：（0，0）
通徑：2P；定義：圓錐曲線（除圓外）中，過焦點并垂直于軸的弦
定義域：對于抛物線y1=2px，p>0時，定義域為x≥0，p<0時，定義域為x≤0；對于抛物線x1=2py，定義域為R。
值域：對于抛物線y1=2px，值域為R，對于抛物線x1=2py，p>0時，值域為y≥0，p<0時，值域為y≤0。
術語解釋
準線、焦點：抛物線是平面内到一定點和到一條不過此點的定直線的距離相等的點的軌迹。這一定點叫做抛物線的焦點，定直線叫做抛物線的準線。
軸：抛物線是軸對稱圖形，它的對稱軸簡稱軸。
弦：抛物線的弦是連接抛物線上任意兩點的線段。
焦弦：抛物線的焦弦是經過抛物線焦點的弦。
正焦弦：抛物線的正焦弦是垂直于軸的焦弦。
直徑：抛物線的直徑是抛物線一組平行弦中點的軌迹。這條直徑也叫這組平行弦的共轭直徑。
主要直徑：抛物線的主要直徑是抛物線的軸。
抛物線即把物體抛擲出去，落在遠處地面，這物體在空中經過的曲線。
幾何性質
有關切線、法線的幾何性質
（1）設抛物線上一點P的切線與準線相交于Q，F是抛物線的焦點，則PF⊥QF。且過P作PA垂直于準線，垂足為A，那麼PQ平分∠APF。
（2）過抛物線上一點P作準線的垂線PA，則∠APF的平分線與抛物線切于P。（為性質（1）第二部分的逆定理）
（3）設抛物線上一點P的切線與法線分别交軸于A、B，則F為AB中點。
（4）設抛物線上除頂點外的點P的切線交軸于A，交頂點O的切線于B，則FB垂直平分PA，且FB與準線的交點M恰好是P在準線上的射影（即PM垂直于準線）。
（5）抛物線的三條切線所圍成的三角形，其外接圓經過焦點。即：若AB、AC、BC都是抛物線的切線，則ABCF四點共圓。
（6）過抛物線外一點P作抛物線的兩條切線，連接切點的弦與軸相交于A。又設P在軸上的射影為B，則O是AB中點。
（7）若抛物線與一個三角形的三條邊（所在直線）都相切，則準線通過該三角形的垂心。
有關弦的幾何性質
（8）焦點弦兩端的切線互相垂直，并且垂足在準線上。
（9）過焦點弦的端點A、B作準線的垂線，垂足分别為M、N。設A、B處的切線相交于P，則P是MN中點，并且以AB為直徑的圓切準線于P。
（10）若抛物線的兩條焦點弦相等，連接這兩條焦點弦的中點，則連線與軸垂直。
（11）抛物線的一條弦AB與軸相交于P（不一定是焦點F），過A、B分别作軸的垂線AM、BN，抛物線頂點為O，則OP²=AM*BN。
切線的尺規作圖
根據幾何性質可以得到過抛物線上一點或抛物線外一點P作抛物線的切線的尺規作圖方法。
（1）P在抛物線上
①過P作準線的垂線，設A為垂足
②連接PF（F是焦點）
③作∠APF的平分線PQ
則根據性質（2），直線PQ為切線
（2）P在抛物線外
①連接PF
②以P為圓心，PF為半徑畫弧，弧與準線分别交于A、B
③過A、B分别作準線的垂線，垂線和抛物線分别交于M、N
④連接PM、PN，則PM、PN為所求切線（有兩條）
這是因為，若連接MF，則在△PAM和△PFM中
∵PA=PF（圓的定義），PM=PM（公共邊），MA=MF（抛物線的定義）
∴△PAM≌△PFM（SSS）
∴∠AMP=∠FMP（全等三角形的對應角相等）
∴MP平分∠AMF（角平分線的定義）
∴MP為切線（性質（2））
同理可證NP是另一條切線
解析式求法
以焦點在X軸上為例
知道P（x0，y0）
令所求為y1=2px
則有y01=2px0
故2p=y01/x0
故抛物線為y1=（y01/x0）x
現總結如下:
（1）知道抛物線過三個點（x1，y1）（x2，y2）（x3，y3）設抛物線方程為y=ax²+bx+c，
将各個點的坐标代進去得到一個三元一次方程組，解得a，b，c的值即得解析式。
（2）知道抛物線的與x軸的兩個交點（x1，0），（x2，0），并知道抛物線過某一個點（m，n），
設抛物線的方程為y=a（x-x1）（x-x2），然後将點（m，n）代入去求得二次項系數a。
（3）知道對稱軸x=k，
設抛物線方程是y=a（x-k）²+b，再結合其它條件确定a，c的值。
（4）知道二次函數的最值為p，
設抛物線方程是y=a（x-k）²+p，a，k要根據其它條件确定。
擴展公式
抛物線：y=ax1+bx+c（a≠0）
就是y等于ax的平方加上bx再加上c；
a>0時開口向上；
a<0時開口向下；
c=0時抛物線經過原點；
b=0時抛物線對稱軸為y軸。
還有頂點式y=a（x-h1+k
h是頂點坐标的x；
k是頂點坐标的y；
一般用于求最大值與最小值。
抛物線标準方程：y1=2px
它表示抛物線的焦點在x的正半軸上，焦點坐标為（p/2，0）準線方程為x=-p/2。
由于抛物線的焦點可在任意半軸，故共有标準方程y1=2px，y1=-2px，x1=2py，x1=-2py。
二次函數圖象
在平面直角坐标系中作出二次函數y=ax2+bx+c的圖像，可以看出，在沒有特定定義域的二次函數圖像是一條永無止境的抛物線。 如果所畫圖形準确無誤，那麼二次函數圖像将是由 y=ax^2平移得到的。n二次函數圖像是軸對稱圖形，對稱軸為直線 x=-2a/b。
對稱軸與二次函數圖像唯一的交點為二次函數圖象的頂點P。
特别地，當b=0時，二次函數圖像的對稱軸是y軸（即直線x=0），是頂點的橫坐标（即x=？）。
a，b同号，對稱軸在y軸左側
a，b異号，對稱軸在y軸右側
二次函數圖像有一個頂點P，坐标為P（h，k）。
當h=0時，P在y軸上；當k=0時，P在x軸上。即可表示為頂點式y=a（x-h）1+k（a≠0）
h=-2a/b k=4a/4ac-b^2
二次項系數a決定二次函數圖像的開口方向和大小。
當a>0時，二次函數圖象向上開口；當a<0時，抛物線向下開口。
|a|越大，則二次函數圖像的開口越小。
一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置。
當a>0，與b同号時（即ab>0），對稱軸在y軸左；因為對稱軸在左邊則對稱軸小于0，也就是-b/2a<0，所以b/2a要大于0，所以a、b要同号。
當a>0，與b異号時（即ab<0），對稱軸在y軸右。因為對稱軸在右邊則對稱軸要大于0，也就是-b/2a>0，所以b/2a要小于0，所以a、b要異号。
可簡單記憶為左同右異，即當a與b同号時（即ab>0），對稱軸在y軸左；當a與b異号時（即ab<0），對稱軸在y軸右。
事實上，b有其自身的幾何意義：二次函數圖象與y軸的交點處的該二次函數圖像切線的函數解析式（一次函數）的斜率k的值。可通過對二次函數求導得到。
相關結論
A（x1，y1），B（x2，y2），A，B在抛物線y1=2px上，則有：
①直線AB過焦點時，x1x2=p²/4，y1y2=-p²；
（當A，B在抛物線x²=2py上時，則有x1x2=-p²，y1y2=p²/4，要在直線過焦點時才能成立）
②焦點弦長：|AB|=x1+x2+P=2P/[（sinθ）2]；
③（1/|FA|）+（1/|FB|）=2/P；（其中長的一條長度為P/（1-cosθ），短的一條長度為P/（1+cosθ））
④若OA垂直OB則AB過定點M（2P，0）；
⑤焦半徑：|FP|=x+p/2（抛物線上一點P到焦點F的距離等于P到準線L的距離）；
⑥弦長公式：AB=√（1+k1）*│x1-x2│；
⑦△=b1-4ac；
⑴△=b1-4ac>0有兩個實數根；
⑵△=b1-4ac=0有兩個一樣的實數根；
⑶△=b1-4ac<0沒實數根。
⑧由抛物線焦點到其切線的垂線的距離是焦點到切點的距離與到頂點距離的比例中項；
⑨标準形式的抛物線在（x0，y0）點的切線是：yy0=p（x+x0）
（注:圓錐曲線切線方程中x²=x*x0，y²=y*y0，x=（x+x0）/2，y=（y+y0）/2）
