詳細分析
表示方法
随機試驗結果的量的表示。例如擲一顆骰子出現的點數，電話交換台在一定時間内收到的呼叫次數，随機抽查的一個人的身高，懸浮在液體中的微粒沿某一方向的位移，等等，都是随機變量的實例。
一個随機試驗的可能結果（稱為基本事件）的全體組成一個基本空間Ω(見概率)。随機變量x是定義于Ω上的函數，即對每一基本事件ω∈Ω，有一數值x(ω)與之對應。以擲一顆骰子的随機試驗為例，它的所有可能結果見，共6個，分别記作ω,ω,ω,ω,ω,ω,這時，Ω={ω,ω,ω,ω,ω,ω},而出現的點數這個随機變量x，就是Ω上的函數x(ω)=k，k=1,2,…，6。
又如設Ω={ω,ω,…，ωn}是要進行抽查的n個人的全體，那麼随意抽查其中一人的身高和體重，就構成兩個随機變量x和Y,它們分别是Ω上的函數：x(ω)=“ω的身高”，Y(ω)=“ω的體重”，k=1,2,…，n。一般說來，一個随機變量所取的值可以是離散的（如擲一顆骰子的點數隻取1到6的整數，電話台收到的呼叫次數隻取非負整數），也可以充滿一個數值區間，或整個實數軸（如液體中懸浮的微粒沿某一方向的位移）。
研究方法
在研究随機變量的性質時，确定和計算它取某個數值或落入某個數值區間内的概率是特别重要的。因此，随機變量取某個數值或落入某個數值區間這樣的基本事件的集合，應當屬于所考慮的事件域。根據這樣的直觀想法，利用概率論公理化的語言，取實數值的随機變量的數學定義可确切地表述如下：概率空間(Ω,F,p)上的随機變量x是定義于Ω上的實值可測函數，即對任意ω∈Ω，x(ω)為實數，且對任意實數x，使x(ω)≤x的一切ω組成的Ω的子集{ω:x(ω)≤x}是事件，也即是F中的元素。
有些随機現象需要同時用多個随機變量來描述。例如對地面目标射擊，彈着點的位置需要兩個坐标才能确定，因此研究它要同時考慮兩個随機變量，一般稱同一概率空間(Ω,F,p)上的n個随機變量構成的n維向量X=(x,x,…，x)為n維随機向量。随機變量可以看作一維随機向量。稱n元x,x,…，x的函數為X的(聯合)分布函數。又如果(x,x)為二維随機向量，則稱x+ix(i=-1)為複随機變量。
随機變量的獨立性獨立性是概率論所獨有的一個重要概念。設x,x,…，xn是n個随機變量，如果對任何n個實數x,x,…，xn都有即它們的聯合分布函數F(x,x,…，x)等于它們各自的分布函數F(x),F(x),…，F(x)的乘積，即稱x，x,…，x是獨立的。這一定義可以直接推廣到每一x(k=1,2,…，n)是随機向量的情形。獨立性的直觀意義是：x,x,…，x中的任何一個取值的概率規律，并不随其中的其他随機變量取什麼值而改變。在實際問題中通常用它來表征多個獨立操作的随機試驗結果或多種有獨立來源的随機因素的概率特性，因此它對于概率統計的應用是十分重要的。
從随機變量(或向量)x，x,…，x的獨立性還可以推出：設B是x取值的空間中的任意波萊爾集，k=1,2,…，n，則有設x,x,…，x是獨立的，則它們中的任意個都是獨立的。但逆之即使其中任何n-1個是獨立的，也不保證x,x,…，x是獨立的。又如果ƒ(x),i=1,2,…，n,是n個連續函數或初等函數(或更一般的波萊爾可測函數)，則從x,x,…，x的獨立性可推出ƒ(x)，ƒ(x),…，ƒ(x)也獨立。如果随機變量(随機向量)序列x,x,…，x,…中任何有限個都獨立，則稱之為獨立随機變量（随機向量）序列。
關于随機變量的矩、特征函數、母函數及半不變量，分别見數學期望、方差、矩及概率分布。
